Решение: для исследования на сходимость ряда \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\sin\frac{1}{2^{n}} \),
исследуем ряд на абсолютную сходимость,
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_{n=1}^\infty |(-1)^{n}\sin\frac{1}{2^{n}}| = \sum_{n=1}^\infty \sin\frac{1}{2^{n}} \), исследуем этот ряд на сходимость. Воспользуемся признаком сравнения рядов в форме неравенства. Воспользуемся свойством синуса \(\sin(x) < x \) при \( x \in (0; \frac{\pi}{2}) \), тогда получим $$ \sin\frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^n}$$ при \(n \geq 1 \quad 0 < \frac{1}{2^n} < \frac{\pi}{2}\). Таким образом, для сравнения берем ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \) это бесконечная геометрическая прогрессия с знаменателем \(q = \frac{1}{2}\), этот ряд является сходящимся. Согласно признака сравнения: если сходится ряд с большим членом \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \), то сходится ряд и с меньшими членами -ряд \( \sum_{n=1}^\infty \sin\frac{1}{2^{n}}\) сходится, получили, что ряд \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\sin\frac{1}{2^{n}} \) сходится абсолютно.
Любой абсолютно сходящийся ряд - является сходящимся, т.е. ряд $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\sin\frac{1}{2^{n}} - \quad \text{ряд сходится}$$
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\sin\frac{1}{2^{n}} \) сходится.
