Решение: для исследования ряда \( \sum_{n=1}^\infty \sin\frac{4}{3^{n}} \) на сходимость, воспользуемся признаком сравнения рядов в форме неравенства. Воспользуемся свойством синуса \(\sin(x) < x \) при \( x \in (0; \frac{\pi}{2}) \), тогда получим $$\sin\frac{4}{3^{n}} < \frac{4}{3^{n}}$$ при \(n \geq 1 \quad 0 < \frac{4}{3^n} < \frac{\pi}{2}\). Таким образом для сравнения берем ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3^{n}}\) это бесконечная геометрическая прогрессия с знаменателем \(q = \frac{1}{3}\), т.е. этот ряд сходится. Согласно признака сравнения, если сходится ряд с большим членом, то сходится ряд и с меньшим, т.е. задний ряд сходится.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty \sin\frac{4}{3^{n}} \) сходится.
