Решение: для исследования ряда \(\sum_{n=1}^\infty \arctan^{n}\frac{1}{n}\)на сходимость, применим радикальный признак Каши в предельной форме:
пусть задано числовой ряд \(u_1 + u_2 ...\), если существует предел $$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_{n}} = q$$ то при \(q < 1\) ряд сходится, при \(q > 1\) расходится, а при \(q = 1\) требуются дополнительные исследования ряда.
Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\arctan^{n}\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty}\arctan\frac{1}{n} = $$$$ = \arctan(0) = 0$$ получили предел \( q < 1\), т.е. ряд сходится.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty \arctan^{n}\frac{1}{n} \) сходится.
