Решение: для исследования на сходимость ряда, применим признак Даламбера в граничной форме:
пусть задано числовой ряд u_1 + u_2 ..., если существует предел \lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l
то при
l < 1 ряд сходится, при
l > 1 расходится, а при
l=1 требуются дополнительные исследования ряда.
Найдем предел
\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{ (n+1+1)!}{5^{n+1}}}{\frac{ (n+1)!}{5^{n}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{ (n+2)!}{5^{n+1}}*\frac{5^{n}}{(n+1)!} =
= \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{5} = \infty
получили предел
l > 1, т.е. ряд расходится.
Ответ: ряд
\sum_{n=1}^\infty \frac{ (n+1)!}{5^{n}} расходится.
