Решить дифференциальное уравнение $$y'+2\frac{y}{x}=x^3$$

Решение: рассмотрим уравнение

$$y'+2\frac{y}{x}=x^3$$ это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
Схема решения неоднородное линейное уравнение первого порядка.
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$y'+2\frac{y}{x} = 0 => \frac{dy}{dx}  = -2\frac{y}{x}=> \frac{dy}{y}  = -2\frac{dx}{x}$$ проинтегрируем обе части уравнения $$\int \frac{dy}{y} =- \int 2\frac{dx}{x} => \ln(y) = -2\ln(x)+\ln(C) =>$$ $$y = \frac{C}{x^2} \quad (1)$$
2. Представляем $C = C(x)$.
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим $C(x)$
находим производную $$y' = (\frac{C(x)}{x^2})' = \frac{C'(x)x^2 - 2xC(x)}{x^4} = \frac{C'(x)}{x^2} - 2\frac{C(x)}{x^3}$$ подставляем в дифференциальное уравнение $$y'+2\frac{y}{x}=x^3 => \frac{C'(x)}{x^2} - 2\frac{C(x)}{x^3} + 2\frac{C(x)}{x^3} = x^3 =>$$ $$\frac{C'(x)}{x^2} = x^3 => C'(x) = x^5 =>$$ интегрируем обе части уравнения $$\int dC(x) = \int x^{5}dx => C(x) = \frac{x^6}{6} + C_1$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$y = \frac{C(x)}{x^2} = \frac{\frac{x^6}{6} + C_1}{x^2} =>$$ $$y = \frac{x^4}{6} + \frac{C_1}{x^2}$$
Ответ: $y = \frac{x^4}{6} + \frac{C_1}{x^2}$