Решение: согласно задания, нужно найти дифференциал второго порядка \(d^2z\) функции, заданной неявно, в точке.
Дифференциал второго порядка находится по формуле $$d^2z = \frac{\partial^2z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}dxdy + \frac{\partial^2z}{\partial y^2}dy^2 \quad (1)$$
1. Найдем частные производные первого порядка функции \(z(x,y)\) заданной неявно.
Найдем частные производные функции двух переменных \(z(x,y)\), которая заданна равенством \(F(x,y,z) = 0\) (неявно заданна), где \(F(x,y,z)\) - дифференцируемая функция переменных \(x,y,z\) и \(F'(x,y,z) \ne 0\).
Вычислим частные производные функции по формулам $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x(x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}$$где
\(F'_x \) - частная производная функции \(F(x,y,z)\) по \(x\) - независимая переменная, а \(y,z\) - константы $$F'_x = (-y^2+yx+6yz+2x^2-3xz-z^2-8)'_x = y+4x-3z$$
\(F'_y \) - частная производная функции \(F(x,y,z)\) по \(y\) - независимая переменная, а \(x,z\) - константы $$F'_y = (-y^2+yx+6yz+2x^2-3xz-z^2-8)'_y = -2y+x+6z$$
\(F'_z \) - частная производная функции \(F(x,y,z)\) по \(z\) - независимая переменная, а \(x,y\) - константы $$F'_z = (-y^2+yx+6yz+2x^2-3xz-z^2-8)'_z = 6y-3x-2z$$
получили частные производные $$ z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z}$$$$ z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{-2y+x+6z}{6y-3x-2z}$$
2. Найдем частные производные второго порядка функции \(z(x,y)\).
$$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = (z'_x)'_x = (-\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z})'_x = $$$$ =-\frac{(4-3z'_x)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(-3-2z'_x)}{(6y-3x-2z)^2} $$
$$\frac{\partial^2z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) = (z'_y)'_y = (-\frac{-2y+x+6z}{6y-3x-2z})'_y = $$$$ = -\frac{(-2+6z'_y)(6y-3x-2z) - (-2y+x+6z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = (z'_x)'_y = (-\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z})'_y = $$$$ = -\frac{(1-3z'_y)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}$$
Подставляем результат в (1)
$$d^2z = -\frac{(4-3z'_x)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(-3-2z'_x)}{(6y-3x-2z)^2}dx^2 - $$$$ 2\frac{(1-3z'_y)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}dxdy - $$$$-\frac{(-2+6z'_y)(6y-3x-2z) - (-2y+x+6z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}dy^2 $$
3. Найдем значений дифференциала второго порядка функции \(z(x,y)\) с координатами \((x_0=0;y_0=3;z_0=1)\).
Найдем значения частных производных первого порядка в точке
$$z'_x(0;3;1) = -\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z} = -\frac{3+4*0-3*1}{6*3-3*0-2*1} = 0$$
$$z'_y(0;3;1) = -\frac{-2y+x+6z}{6y-3x-2z} = -\frac{-2*3+0+6*1}{6*3-3*0-2*1} = 0$$
Найдем значения частных производных второго порядка в точке $$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} = -\frac{(4-3z'_x)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(-3-2z'_x)}{(6y-3x-2z)^2} = $$$$ =-\frac{4(6*3-3*0-2*1) - (3+4*0-3*1)(-3)}{(6*3-3*0-2*1)^2} = -\frac{1}{4}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial y^2} = -\frac{(-2+6z'_y)(6y-3x-2z) - (-2y+x+6z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2} =$$$$= -\frac{(-2+6*0)(6*3-3*0-2*1) - (-2*3+0+6*1)(-3-2*0)}{(6*3-3*0-2*1)^2} = \frac{1}{8}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1-3z'_y)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2} = $$$$ =-\frac{(1-3*0)(6*3-3*0-2*1) - (3+4*0-3*1)(6-2*0)}{(6*3-3*0-2*1)^2} = -\frac{1}{16}$$
Подставляем результат в (1)
$$d^2z = -\frac{1}{4}dx^2 - 2\frac{1}{16}dxdy + \frac{1}{8}dy^2 $$
Ответ: дифференциал второго порядка в точке равен \(d^z(0;3) = -\frac{1}{4}dx^2 - \frac{1}{8}dxdy + \frac{1}{8}dy^2\)
