Последние блоги

Лінії другого порядку

Мажорна Анна Володимирівна — Sun, 30 Oct 2016 17:00:34 +0000

1. Лінійна модель витрат. Точка беззбитковості.

При виробництві x одиниць будь-якої продукції загальні витрати $C(x)$ складаються із постійних (фіксованих) витрат $F$; змінних витрат $V$, тобто маємо: $$ C=F+V$$
Постійні витрати $F$ − це витрати, що не залежать від числа одиниць виробленої продукції. Вони містять у собі амортизацію, оренду приміщення, відсотки по позиках і т.п.

Змінні витрати $V$ − це витрати, що прямо залежать від кількості виробленої продукції. Вони містять у собі вартість сировини, робочої сили й т.п.

У найпростішому випадку змінні витрати прямо пропорційні $X$ − кількості виробленої продукції. Коефіцієнт пропорційності $А$ − це змінні витрати по виробництву однієї одиниці продукції $V=ax $.

Якщо позначити через $b$ фіксовані витрати, то вийде рівняння, що називають лінійною моделлю витрат: $$C(x)=b+ax$$ Сукупний дохід $R(x)$ , одержуваний підприємством від продажу xодиниць продукції, визначається формулою: $$R(x) = px$$ де $p$ ─ ціна одиниці товару.
Якщо вироблено й продано x одиниць продукції, то прибуток $P(x)$ визначається формулою: $$P(x) = R(x) -C(x) $$ Точка, в якій прибуток перетворюється в нуль, називається крапкою беззбитковості.

Приклад 1.Відомо, що фіксовані витрати виробництва становлять 10 тис. грн. на місяць, змінні витрати 30 грн. на одиницю продукції, виторг 50 грн. за одиницю продукції. Потрібно скласти функцію прибутку й побудувати її графік.

Розв’язування. За умовою задачі постійні витрати F =10 000. Оскільки змінні витрати по виробництву однієї одиниці продукції становлять 30 грн. (a = 30), то змінні витрати, що залежать від кількості виробленої продукції, $V = 30 x$

де $x$ ̶ кількість виробленої продукції.

Таким чином, загальні витрати становлять $$C(x) =10000 + 30x $$
Сукупний дохід, від продажу x одиниць продукції, визначається таким чином $$R(x) = 50 x$$
Побудуємо графіки функцій доходу й витрат:

Рис. 1

Точку перетину прямих $C(x) =10000 + 30x$ та $R(x) = 50 x $ знайдемо таким чином: $C(x) = R(x)$ , тоді $10000+30x = 50x$ отже, $x = 500, C(x) = R(x) = 25000$

Прибуток, якій одержує підприємство, можна знайти за формулі $$ P(x)= R(x) -C(x) $$ Тому $$ P(x) = 50 x - (10000 + 30 x) = 20 x -10000 => P(x) = 20 x -10000 $$

Побудуємо графік функції прибутку. При x = 500 маємо P(x) = 0.

Отже, координати першої точки (500;0). При x = 600 маємо P(x) = 2000; отримали другу точку (600; 2000). Через дві точки на площині проведемо пряму, яка є графіком функції P(x):

Рис. 2

Як видно із графіка, при значеннях x менше 500 прибуток від’ємний (графік P(x) розташований нижче осі Ox), тобто виробництво збиткове. При збільшенні x прибуток зростає, у точці з абсцисою x = 500 він дорівнює нулю (точка беззбитковості) і після цього стає додатнім (див. рис. 2).

Задача 1. Взуттєва фабрика продає туфлі за ціною 350+3*m+2*n грн. за пару. Витрати становлять $63000+100*m$ грн. за $100+n$ пар туфель та $60750+100*m$ тис. грн. за $85+n$ пар, де m= 2 , n = 20

Завдання

1) Знайти рівняння прямої витрат $C(x) = b + ax $,(яке в більш звичному вигляді можна переписати так у = b + ax), за двома точками y-y2 / y1-y2=x-x2 / x1-x2 (1)
2) Знайти рівняння прямої доходу R(x) = px.
3) Побудувати лінії C(x), R(x) та знайти точку їх перетину М0 .
4) Скласти рівняння функції прибутку P(x) = R(x) -C(x) .
5) Побудувати рівняння функції прибутку P(x) та знайти точку беззбитковості М1.
6) Як між собою пов’язані абсциси точок М0, М1?
7) Скільки пар туфель фабрика повинна зробити й продати, щоб

одержати 10% доходу на гроші, вкладені у постійні витрати?

Завдання 1, 2, 4, 6, 7 виконувати беззастосування комп’ютера.

Завдання 3, 5 виконувати на комп’ютері.

2. Закони попиту та пропозиції.

Кількість товару, що покупці придбають на ринку, залежить від ціни на цей товар. Співвідношення між ціною й кількістю купленого товару називається функцією або законом попиту.

Кількість товару, що виробники виставлять на продаж, також залежить від ціни на цей товар. Співвідношення між ціною й кількістю товару, виставленого на продаж, називається функцією або законом пропозиції.

У найпростішому випадку ці функції є лінійними (рис. 3).

Рис. 3.

Закон попиту позначений через $D$, закон пропозиції – через $S$ ;
$x$ – кількість товару, $p$ – ціна на цей товар.

Рівняння попиту можна скласти, якщо задані дві точки, що лежать на його графіку. Для цього потрібно використати рівняння прямої,що проходить через дві задані точки.

Точка перетинання кривих попиту та пропозиції $x_0$, $p_0$ називається точкою ринкової рівноваги.

Відповідно,

$p_0$ - називається рівноважної ціною,
$x_0$ – рівноважною кількістю (рівноважним обсягом продажів).

Буває, що уряд вводить податок tна товар або надає субсидію s, щоб населення могло придбати товар по розумній ціні.

При використанні лінійних моделей передбачається, що попит визначається тільки ціною товару на ринку pc , а пропозиція ̶ тільки ціною ps, яку отримують постачальники. Ці ціни пов'язані між собою наступною системою рівнянь : $$ pc=ps+t \quad pc = ps-s$$ де $t$ й $s$ ̶ відповідно податок та субсидія на одиницю товару.

Таким чином, при введенні податку або субсидії рівняння попиту D не зміниться. Графік функції пропозиції підніметься на tодиниць вгору (лінія S¢) або опуститься на sодиниць униз (лінія S¢¢) (див. рис. 3).

Деякі податки, наприклад ПДВ (податок на додану вартість), пропорційні ціні. У цьому випадку точка перетину графіка пропозиції S з віссю Oxзалишається тією ж, але міняється кут нахилу графіка до осі Ox .

Задача 2.(д.з.) Закони попиту та пропозиції на деякий товар визначаються рівняннями p=-2x+12+m+n та p=x+3+m+n відповідно, де m =2 , n =20
Завдання.

1) Знайти точку ринкової рівноваги.
2) Знайти точку рівноваги після введення податку, рівного 3 грн. на одиницю

продукції.

а) Знайти збільшення ціни й зменшення рівноважного обсягу продажів.
б) Знайти дохід держави після введення цього податку.
3) Яка субсидія призведе до збільшення обсягу продажів на 2 одиниці?

Завдання 1, 2, 3 можна виконувати за допомогою комп’ютера.

Задача 3. Лінія другого порядку задана рівнянням:

$х^2+у^2+4х+4=0$

Завдання.

1) Побудовою лінії другого порядку, визначити вид лінії(коло, еліпс, гіпербола та інш.).
2) Знайти канонічне рівняння лінії другого порядку.

Завдання 1 виконувати за допомогоюкомп’ютера.

ЗНО 2015 року з математики . Завдання № 1.

Sheldon Cooper — Mon, 21 Sep 2015 20:42:48 +0000

Макроекономіка

маркин Сергей — Fri, 24 Apr 2015 09:20:10 +0000

У даному курсі у тестовій формі подані основні аспекти курсу макроекономіки, які викладачі використовують для складання модулів та екзаменів!

1. Макроекономіка досліджує економічні процеси на рівні:

1) підприємства;

2) галузі виробництва;

3) окремого ринку;

4) національної економіки.

2. Макромоделі показують:

1) об’єктивне зростання показника;

2) взаємозв’язок між макропоказниками;

3) зв’язок між державними суб’єктами;

4) зв’язок між екзогенними величинами.

3. Для розширення виробничого потенціалу країни необхідно щоб:

1) ЧНП перевищував НД;

2) чисті інвестиції перевищували величину амортизації;

3) НД перевищував обсяг споживчих витрат населення та держави;

4) ВНП перевищував ЧНП на величину амортизації.

4. До трансфертних платежів належать:

1) шкільне будівництво;

2) заробітна плата державних службовців;

3) податки;

4) допомога по безробіттю.

5. Особистий дохід – це:

1)сума заощаджень приватних осіб;

2)весь доход, призначений на особисті споживчі витрати після сплати податків;

3)доход, отриманий домашніми господарствами протягом даного року;

4)сума заощаджень приватних осіб.

6. Згідно з кейнсіанською теорією, рівень виробництва визначається:

1) рівнем повної зайнятості;

2) попитом на гроші;

3) рівнем процентної ставки;

4) величиною сукупного попиту.

7. Чим вища гранична схильність до споживання, тим:

1) більші валові інвестиції;

2) менший мультиплікатор;

3) більші валові інвестиції і більший мультиплікатор;

4) більший мультиплікатор.

8. На ринку товарів і платних послуг, грошей та цінних паперів не досягається рівновага, якщо:

1) C = S;

2) S = I;

3) значення НД та ставка процента не відповідають точці перетину ліній IS та LM;

4) усі відповіді неправильні.

9. Сума граничних схильностей до споживання та заощадження дорівнює 1:

1) якщо графік функції споживання проходить через початок координат;

2) при лінійній функції споживання;

3) тільки при рівновазі на ринку благ;

4) завжди.

10. У період депресії найбільше скорочується:

1) рівень зарплати;

2) рівень цін;

3) величина підприємницького прибутку;

4) державні закупки товарів і послуг.

11. Найбільш сильний вплив на хід економічних циклів здійснює динаміка:

1) споживчих цін;

2) чистих інвестицій, спрямованих у виробництво товарів довгострокового використання;

3) чистих інвестицій, спрямованих на збільшення товарно-матеріальних запасів;

4) державних витрат.

12. Ефект витіснення, пов’язаний з державним боргом, який виник внаслідок зростання державних витрат:

1) призводить до зменшення податкових надходжень;

2) призводить до зростання виробничого потенціалу в майбутньому;

3) призводить до зменшення ставки процента;

4) скорочує приватні інвестиції.

13. Урядова політика в галузі витрат і оподаткування називається:

1) монетарною політикою;

2) політикою розподілу доходів;

3) політикою, заснованого на кількість теорії грошей;

4) фіскальною політикою.

14. Максимально можливе збільшення суми безстрокових внесків дорівнює:

1) надлишковим резервам, поділеним на величину грошового мультиплікатора;

2) різниці між активними та обов’язковими плюс власний капітал;

3) різниці між фактичними резервами та надлишковими;

4) надлишковим резервам, помноженим на величину грошового мультиплікатора.

15. Яка з нижченаведених операцій викликає скорочення балансу Національного банку?

1) надання високого кредиту;

2) продаж валюти;

3) збирання податкових надходжень державою;

4) переоблік векселів.

16. Інфляція витрат обумовлена:

1) зростанням споживчих витрат;

2) зростанням інвестиційних витрат;

3) зростанням собівартості продукції;

4) зростанням сукупних витрат.

17. Зростання сукупних витрат призводить до інфляції, якщо:

1) економіка розвивається у стані повної зайнятості;

2) чисельність робочої сили не зростає;

3) економіка розвивається у стані неповної зайнятості;

4) фактичний обсяг ВНП менший за потенціальний обсяг ВНП.

18. Той, хто втратив роботу внаслідок спаду в економіці, потрапляє до категорії безробітних, які охоплені:

1) фрикційною формою безробіття;

2) структурною формою безробіття;

3) перманентною формою безробіття;

4) кон’юнктурною формою безробіття.

19. Недостатній сукупний попит призводить до:

1) зростання рівня, структурного безробіття;

2) зростання рівня прихованого безробіття;

3) зростання рівня кон’юнктурного безробіття;

4) зростання рівня фрикційного безробіття.

20. Країна А може виробляти 1 т пшениці чи 4 т металу, використовуючи одну одиницю ресурсів. Країна Б може виробляти 2 т пшениці чи 5 т металу, використовуючи також одну одиницю ресурсів. За цих умов:

1) країна А буде експортувати пшеницю та імпортувати метал;

2) країна А не буде експортувати та імпортувати пшеницю;

3) країна Б буде експортувати пшеницю та імпортувати метал;

4) країна Б не буде експортувати та імпортувати метал.

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 33.

Sheldon Cooper — Wed, 14 Jan 2015 11:23:03 +0000

Завдання: Через точки A і B, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать однії твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу - $60\sqrt{2}см^2$. Визначте довжину відрізка AB (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $20\sqrt{30}\pi см^2$

Рішення: рассмотрим рисунок

Искомый отрезок $AB$ - диагональ прямоугольника, полученного в результате сечения цилиндра плоскостью, которая параллельна оси цилиндра, площадь сечения по условию задачи равна $S = AC*AD = 60\sqrt{2}$.

Отрезок $AB$ будем находить из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора $AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{AD^2+AC^2}$.

Найдем стороны $AC$ и $AD$.
Согласно условия задачи площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} =20\sqrt{30}\pi$. Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$ - где R - радиус окружности основания цилиндра, H - высота цилиндра $H = AC$. Подставляем данные в формулу площади боковой поверхности $$ 2\pi R*AC = 20\sqrt{30}\pi => AC*R = 10\sqrt{30}$$ В полученной формуле неизвестен радиус R. Найдем его из треугольника ΔAFO по теореме Пифагора $$AF^2+FO^2=AO^2$$ где AO=R, OF=2, $AF=\frac{1}{2}AD$, получаем $$\frac{1}{4}AD^2+4=R^2 $$
Получили три уравнения с тремя неизвестными, составим систему уравнений и найдем $AC$ и $AD$ $$\begin{cases}AC*AD = 60\sqrt{2}\\AC*R = 10\sqrt{30} \\ \frac{1}{4}AD^2+4=R^2 \end{cases}=> \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}*\sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} = 10\sqrt{30} \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> $$$$ \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 6\sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} = \sqrt{15}AD \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 36\frac{1}{4}AD^2+4*36 = 15AD^2 \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> $$$$ \begin{cases}AC =\frac{ 60\sqrt{2}}{AD}\\ 6AD^2=4*36 \\ R = \sqrt{\frac{1}{4}AD^2+4} \end{cases}=> \begin{cases}AC =10\sqrt{3}\\ AD=\sqrt{24} \\ R = \sqrt{10} \end{cases}$$

Из прямоугольного треугольника ΔABD по теореме Пифагора $AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{AD^2+AC^2}$ $$AB = \sqrt{(\sqrt{24})^2+(10\sqrt{3})^2} = \sqrt{24+300} = 18$$

Відповідь: довжину відрізка $AB=18$.

попереднє завдання № 32 наступне завдання № 34

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 32.

Sheldon Cooper — Tue, 13 Jan 2015 11:32:25 +0000

Завдання: На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції $f(x) = ax^2+\frac{2b}{3}x+5$. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями $y = f(x), y=0,x=0,x=1$, дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму $a+b$

Рішення: геометрический смысл определенного интеграла: если $f(x) \geq 0$ на отрезке [a;b], a < b, от определенный интеграл $ \int_a^bf(x)dx$ равен площади криволинейной трапеции - фигуры ограниченной линиями $y = f(x), y=0,x=a,x=b$ $S = \int_a^bf(x)dx \quad (1)$
Подставляем в (1) данные задачи $$S = \int_0^1(ax^2+\frac{2b}{3}x+5)dx = $$ применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$, а также формулу интеграла от степенной функции $\int x^axdx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C$, получаем $$a\frac{x^3}{3}+\frac{2b}{2*3}x^2+5x|_0^1 = a\frac{x^3}{3}+\frac{b}{3}x^2+5x|_0^1 = $$$$a\frac{1}{3}+\frac{b}{3}+5$$ Согласно условия задачи $S=21$, тогда $$a\frac{1}{3}+\frac{b}{3}+5 = 21 => a+b = (21-5)*3 = 48$$

Відповідь: сумма $a+b=48$.

попереднє завдання № 31 наступне завдання № 33

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 31.

Sheldon Cooper — Mon, 12 Jan 2015 12:12:04 +0000

Завдання: Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть у $(см^2)$ площу трапеції.

Рішення: Площадь трапеции рассчитывается по формуле $$S = \frac{a+b}{2}h = mh \quad (1)$$ где $a,b$ - основания трапеции,
$h$ - высота трапеции.
В тоже время $m = \frac{a+b}{2} = 36$ - средняя линия трапеции.

Т.о. для того, чтобы найти площадь трапеции нужно найти высоту трапеции $h = AO$.

Рассмотрим рисунок.

Для решения задачи нужно найти высоту AO. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔADO. В этом треугольнике AO - катет, который можно найти по формуле Пифагора $a^2+b^2=c^2$, осталось найти второй катет DO и гипотенузу AD.

Средняя линия трапеции также является средней линией треугольника ΔABC.
Свойства средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Согласно свойства средней линии треугольника AB = 2*13=26

Средняя линия трапеции также является средней линией треугольника ΔACD.
Согласно свойства средней линии треугольника DC = 2*23=46

Получили длины оснований трапеции $AB = 26$, $DC = 46$
Согласно условия задачи: диагональ трапеции является биссектрисой острого угла, т.е. $\angle BCA = \angle ACD$ , в тоже время $\angle ACD = \angle BAC$ эти углы равны т.к. являются внутренними накрест лежащими углами, т.о. $\angle BCA = \angle ACD = \angle BAC$. Отсюда следует, что ΔABC - равнобедренный, а стороны $AB=BC=26$. Получили, что баковые стороны равнобедренной трапеции $AD=BC=26$

Найдем катет $DO = \frac{DC-AB}{2} = \frac{46-26}{2}=10$

Из треугольника ΔADO находим по теореме Пифагора $DO=h=\sqrt{AD^2-LJ^2} = \sqrt{26^2-10^2} = 24$

Найдем площадь равнобедренной трапеции по формуле (1) $$S = m*h = 36*24 = 864$$

Відповідь: площадь трапеции равна $864 см^2$.

попереднє завдання № 30 наступне завдання № 32

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 30.

Sheldon Cooper — Fri, 28 Nov 2014 20:42:04 +0000

Завдання: Розв'яжіть нерівність $\frac{10^x-16*5^x}{x+2} \geq 0$. У відповідність запишіть суму всіх цілих розв'язків нерівності на проміжку $[-3;7]$.

Рішення: решим неравенство методом змейки $$\frac{10^x-16*5^x}{x+2} \geq 0 => \begin{cases}(10^x-16*5^x)(x+2) \geq 0\\ x+2 \ne 0\end{cases} => $$$$ \begin{cases}((2*5)^x-16*5^x)(x+2) \geq 0\\ x \ne -2\end{cases} => \begin{cases}(2^x*5^x-16*5^x)(x+2) \geq 0\\ x \ne -2\end{cases} => $$$$ \begin{cases}5^x(2^x-16)(x+2) \geq 0\\ x \ne -2 \end{cases} => \begin{cases}(2^x-2^4)(x+2) \geq 0\\ x \ne -2 \end{cases} => $$область значения показательной функции $5^x > 0$$$ \begin{cases}(x-4)(x+2) \geq 0\\ x \ne -2 \end{cases}$$

строим змейку, учитываем $x \ne -2$, получаем ответ $x \in (-\infty;-2) \cup [4;+\infty)$. В условии дан интервал $[-3;7]$. Ищем пересечения этих интервалов и находим все целые числа: $-3;4;5;6;7$. Находим сумму полученных чисел: $-3+4+5+6+7= 19$

Відповідь: $19$.

попереднє завдання № 29 наступне завдання № 31

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 29.

Sheldon Cooper — Thu, 27 Nov 2014 17:09:05 +0000

Завдання: Розв'яжіть рівняння $\log_{0.4}(5x^2-8) = \log_{0.4}(-3x)$. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповіді їхню суму.

Рішення: два логарифма равны, если равны их аргументы, т.е. $\log_{0.4}(5x^2-8) = \log_{0.4}(-3x) => 5x^2-8 = -3x$ при этом нужно учесть ОДЗ логарифма $\log_ab, b \in (0'\infty)$, т.е. получаем систему уравнений $$\log_{0.4}(5x^2-8) = \log_{0.4}(-3x) => \begin{cases}5x^2-8 = -3x \\5x^2-8 > 0 \\ -3x > 0 \end{cases}=>$$ первое уравнение - квадратное уравнение, найдем его корни$$ \begin{cases}5x^2+3x-8 =0 \\x^2 > \frac{8}{5} \\ x < 0 \end{cases} => \begin{cases}x_{1,2} = \frac{-3 \pm\sqrt{9-4(-8)5}}{2*5}\\ |x| > \sqrt{\frac{8}{5}} \\ x < 0 \end{cases} => $$раскроем модуль по формуле $|x| > a => x >a \cup x < -a$ $$ \begin{cases}x_{1} = 1; x_{2} = -1.6\\x > \sqrt{\frac{8}{5}} \cup x < -\sqrt{\frac{8}{5}} \\ x < 0 \end{cases} => \begin{cases}x_{1} = 1; x_{2} = -1.6\\ x < -\sqrt{\frac{8}{5}} \end{cases} =>$$ выберем корень уравнения, удовлетворяющий ОДЗ $$ \begin{cases}x = -1.6\\ x < -\sqrt{\frac{8}{5}} \end{cases}$$

Відповідь: $-1.6$.

попереднє завдання № 28 наступне завдання № 30

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 28.

Sheldon Cooper — Thu, 27 Nov 2014 15:39:36 +0000

Завдання: Вартість P (у грн) поїздки на таксі обчислюють за формулою: $$P = \begin{cases} P_{min}+2.4*(S-6)+0.5t, & якщо & S > 6\\P_{min}, & якщо & S \leq 6\end{cases},$$ де $S$ - відстань (у км), яку проїхало таксі під час поїздки,
$P_{min}$ - мінімальна вартість поїздки (у грн),
t - час (у хв.), протягом якого швидкість таксі не перевищувала 5 $\frac{км}{год}$.
Користуючись формулою, обчисліть вартість поїздки (у грн) на таксі, якщо $S=10.5$ км, $P_{min} = 28грн$, $t$ = 12 хв.

Рішення: Система уравнений имеет два уравнения, каждое из которых выполняется при определенных условиях, а именно зависит от величины $S$. Т.к. согласно условия задачи $S = 10,5 > 6$, то для расчета стоимости поездки будем применять формулу $$P = P_{min}+2.4*(S-6)+0.5t$$ подставляем данные из условия $$P = 28+2.4*(10,5-6)+0.5*12 = 44.8$$
Відповідь: $44.8$.

попереднє завдання № 27 наступне завдання № 29

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 27.

Sheldon Cooper — Tue, 28 Oct 2014 19:45:12 +0000

Завдання: Відомо, що $\frac{y-x}{2x} = \frac{3}{4}$, де $0 < x < y$. У скільки разів число $y$ більше за число $x$?

Рішення:
Решаем уравнение $$\frac{y-x}{2x} = \frac{3}{4} => 4y-4x = 6x => 4y = 10x => y = 2.5x$$

Відповідь: число $y$ в 2.5 раза больше числа $x$.

попереднє завдання № 26 наступне завдання № 28

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 26.

Sheldon Cooper — Tue, 28 Oct 2014 19:22:19 +0000

Завдання: На стороні AD паралелограма ABCD як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони BC в точці M. Довжина дуги MD дорівнює $6.5 \pi см$.

1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього півкола.
2. Обчисліть площу паралелограма ABCD (у $см^2$)

Рішення:
Строим рисунок

1. Вычислим длину радиуса круга.
Из условия задачи следует, что длина дуги MD равна $MD=6.6\pi$. Из рисунка видно, что дуга MD - равна четверти длины окружности. Длина окружности рассчитывается по формуле $l = 2\pi r => MD = \frac{2\pi r}{4} = 6.5\pi => r = 13$
Ответ: длина радиуса круга равна r = 13 см.

2. Вычислим площадь параллелограмма ABCD.
Площадь параллелограмма будем находить по формуле $S = ah$, где $a$ - сторона параллелограмма, $h$ - высота параллелограмма, опущенная на сторону $a$
Сторона параллелограмма $a = AD = 2r = 26$ согласно условия задачи.
Согласно условия, точка M - точка касания окружности и прямой BC. Радиус, опущенный в точку касания перпендикулярен касательной, т.е. OM - высота, т.е. $h = OM = r$. Подставляем в формулу площади $$S = ah = 26*13 =338 см^3$$
Ответ: площадь параллелограмма ABCD равна $S_{ABCD} = 338 см^3$

Відповідь:
1. длина радиуса круга $r = 13см$
2. площадь параллелограмма ABCD равна $S_{ABCD} = 338 см^3$

попереднє завдання № 25 наступне завдання № 27

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 25.

Sheldon Cooper — Tue, 28 Oct 2014 11:03:09 +0000

Завдання: Початкова вартість сукні становила 144 грн. Унаслідок уцінення вартість цієї сукні було зменшено на $60%$.

1. Обчисліть вартість сукні після уцінення (у грн).
2. Скільки відсотків становить початкова вартість сукні від її вартості після уціненні?

Рішення:

1. Вычислим стоимость платья после уценки (в грн.)
В результате уценки цена платья была уменьшена на $60\%$, т.е. цена платья равна $100\% - 60\% = 40\%$. Цена после уценки равна $144*\frac{40\%}{100} =144*0.4 = 57.6 грн$
Ответ: стоимость платья после уценки составила 57.6 грн.

2. Сколько процентов составляет начальная стоимость платья от ее стоимости после уценки?
Первичная стоимость платья равна 144 грн.
Уцененная стоимость платья равна 57.6 грн.
Составим пропорцию:
Стоимость платья после уценки равна 57.6 это равно 100%
Начальная стоимость платья 144 грн. что составляет x% от стоимости платья после уценки.
Составляем пропорцию $$57.6*x = 100\%*144 => x = \frac{100\%*144}{57.6} = 250\%$$
Ответ: начальная стоимость платья от ее стоимости после уценки в процентах составляет 250%

Відповідь:
1. стоимость платья после уценки составила 57.6 грн.
2. начальная стоимость платья от ее стоимости после уценки в процентах составляет 250%

попереднє завдання № 24 наступне завдання № 26

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 24.

Sheldon Cooper — Fri, 24 Oct 2014 21:33:45 +0000

Завдання: На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому по осі абсцис відмічені елементи цього ряду, а по осі ординат - їхні частоти. Установіть відповідність між характеристикою (1-4) цього ряду даних та її числовим значенням (А-Д).

Варіант відповіді:

$$ \begin{array}{|l|c|l|} \hline \quad\quad \large \textbf{Характеристика ряду даних} & & \large\textbf{Числове значення характеристики} \\ \hline 1.\quad \text{кількість елементів} & &А.\quad 12 \\ \hline 2.\quad \text{розмах} & &Б.\quad 18 \\ \hline 3.\quad \text{мода} & & В.\quad 21 \\ \hline 4.\quad \text{медіана} & &Г. \quad 30 \\ \hline & &Д. \quad 40 \\ \hline \end{array}$$

Рішення:
1. кількість елементів $n$:
Найдем количество элементов ряда. Смотрим рисунок, из рисунка получаем таблицу.
$$\begin{array}{|l|c|l|} \hline \quad\quad \large \textbf{Элементы ряда} & & \large\textbf{Количество элементов} \\ \hline \quad 6 & & \quad 3 \\ \hline \quad 12 & &\quad 5 \\ \hline \quad 18 & & \quad 1 \\ \hline \quad 24 & & \quad 3 \\ \hline \quad 30 & & \quad 2 \\ \hline \quad 36 & & \quad 4 \\ \hline \end{array}$$
Считаем количество элементов в правом столбце, это и будет количество элементов в ряде $n =3+5+1+3+2+4 = 18$
Ответ: в ряду 18 элементов, $(1 \to Б)$

2. розмах $R$:
Размах ряда чисел -это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Наименьший элемент ряда равен 6, наибольший элемент ряда равен 36, т.е. размах равен R = 36-6=30
Ответ: размах ряда равен R = 30, $(2 \to Г)$

3. мода $M_o$ :
Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других. Изучаем рисунок и видим, что число 12 встречается 5 раз, т.е. это и будет мода $M_o=12$.
Ответ: мода ряда равна $M_o = 12$, $(3 \to А)$

4. медіана $M_e$:
медианой числового ряда является число этого ряда, если число элементов ряда нечетное или полусумму двух его чисел, если число элементов ряда четное, которое будет находиться ровно посередине ряда после его ранжирования (т.е. упорядочения).
Ранжируем (упорядочим наш ряд), получим : 6;6;6;12;12;12;12;12;18;24;24;24;30;30;36;36;36;36 . Количество элементов в ряду равно 18, поэтому берем полусумму двух средних элементов - 9 и 10 элементы, найдем их полусумму $M_e=\frac{18+24}{2} = 21$
Ответ: медиана ряда равна $M_e = 21$ , $(4 \to В)$

Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & А & Б & В & Г & Д\\ \hline 1& & X & & \\ \hline 2& & & & X \\ \hline 3& X & & & \\ \hline 4& & & X & & \\ \hline \end{array}$$

попереднє завдання № 23 наступне завдання № 25

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 23.

Sheldon Cooper — Fri, 24 Oct 2014 10:39:56 +0000

Завдання: На рисунку зображено квадрат $ABCD$ зі стороною 1 см та прямокутний трикутник $CDF$, гіпотенуза якого $CF$ дорівнює $\sqrt{5}см$. Фігури лежать в одній площині. Установіть відповідальність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Варіант відповіді:
$$ \begin{array}{|l|c|l|} \hline \quad\quad \large \textbf{Початок речення} & & \large\textbf{Закінчення речення} \\ \hline 1.\quad \text{Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює } & &А.\quad \text{1 см} \\ \hline 2.\quad \text{Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює} & &Б.\quad \frac{1}{\sqrt{2}} см \\ \hline 3.\quad \text{Відстань від точки F до прямої BC дорівнює} & & В.\quad \sqrt{2} см \\ \hline 4.\quad \text{Відстань від точки F до прямої BD дорівнює} & &Г. \quad \text{2 см} \\ \hline & &Д. \quad \sqrt{5} см \\ \hline \end{array}$$

Рішення:
1. Длинна катета FD треугольника CDF равна:
Рассмотрим $ΔCDF$: известны длина катета $CD = 1$ и гипотенузы $CF = \sqrt{5}$, тогда по теореме Пифагора найдем $$CF^6 = CD^2+DF^2 => 5 = 1 + DF^2 => DF=2$$
Ответ: Довжина катета FD трикутника CDF дорівнює 2см, $(1 \to Г)$

2. Длина радиуса круга, описанного вокруг квадрата:
Если квадрат вписан в круг, то его диагональ является диаметром этого круга. Найдем диагональ из треугольника $ΔABD$ по теореме Пифагора, согласно условия задачи $AB=AD=1$, получаем $$AB^2+AD^2 = BD^2 => BD^2 = 1+1 => BD=\sqrt{2} =>d=2r=BD=\sqrt{2} => r = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Ответ: Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата ABCD, дорівнює $ \frac{1}{\sqrt{2}}см$, $(2 \to Б)$

3. Расстояние от точки F до прямой BC равно :
Расстояние от точки до прямой равно перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую $FE$. Точка F лежит на прямой AF, которая параллельна BC $AF||BC$. Все перпендикуляры, опущенные из точек прямой AF на прямую BC равны $AB=DC=FE=1$, т.е. и перпендикуляр из точки F (FE) на прямую BC равен 1 см.

Ответ: Відстань від точки F до прямої BC дорівнює 1 см, $(3 \to А)$

4. Расстояние от точки F до прямой BD равно :
Опустим перпендикуляр на прямую BD из точки F. Найдем расстояние FS. Из рисунка видно, что углы $\angle BDA = \angle FDS$. Из прямоугольного равнобедренного треугольника $ΔABD$ следует, что $\angle BDA = 45^0 => \angle FDS = 45^0$. Получили, что прямоугольный треугольник $ΔFDS$ - равнобедренный, т.е. $DS=SF = a$. Применим теорему Пифагора к этому треугольнике $DS^2 + SF^2 = DF^2 => a^2+a^2 = 2a^2 = 4 => a=\sqrt{2}$

Ответ: Відстань від точки F до прямої BD дорівнює $\sqrt{2}$ см, $(4 \to В)$

Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & А & Б & В & Г & Д\\ \hline 1& & & & X \\ \hline 2& & X & & \\ \hline 3& X & & & \\ \hline 4& & & X & & \\ \hline \end{array}$$

попереднє завдання № 22 наступне завдання № 24

ЗНО 2014 року з математики . Завдання № 22.

Sheldon Cooper — Thu, 23 Oct 2014 18:00:57 +0000

Завдання: Установіть відповідність між функцією $(1-4)$ та кількістю спільних точок $(А - Д)$графіка цієї функції є графіком функції $y = \frac{x}{5}$

Варіант відповіді:
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1.\quad y=x+5 & &А.\quad \text{жодної} \\ \hline 2.\quad y=5^x & &Б.\quad \text{лише одна} \\ \hline 3.\quad y=\sqrt{x} & & В.\quad \text{лише дві} \\ \hline 4.\quad y=\sin(x) & &Г. \text{лише три} \\ \hline & &Д. \quad \text{лише чотири} \\ \hline \end{array}$$

Рішення: для решения задания, будем строить графики функция или решать уравнения:
1. функции $y = \frac{x}{5}$ и $y=x+5$ , определим количество общих точек.. Если вспомнить свойства прямых на плоскости - у параллельных прямых равны угловые коэффициенты, в данном случае $k_1=1; k_2=\frac{1}{5} => k_1 \ne k_2$, т.е прямые пересекаются и имеют одну общую точку. Составим уравнение, если прямые имеют общие точки, т.е. равные координаты, приравняем два уравнения $x+5 = \frac{x}{5} => x = -\frac{25}{4}$, получили одну общую точку. Решим графическим методом. Построим кривые по точкам:

Получили одну общую точку.

Ответ: $1 \to Б$

2. функции $y = \frac{x}{5}$ и $y = 5^x$, определим количество общих точек. Будем решать графическим методом. Построим кривые по точкам, получаем

Общих точек нет.
Ответ: $2 \to А$

3. функции $y = \frac{x}{5}$ и $y=\sqrt{5}$ , определим количество общих точек.. Составим уравнение, если две кривые имеют общие точки, то должно быть решение уравнения, приравняем два уравнения $ \frac{x}{5} = \sqrt{x} => x_1 = 0; x_2=25$. Получили две общие точки. Решение также можно найти графическим методом, строим графики то точкам:

Получили две общие точки.

Ответ: $3 \to В$

4. функции $y = \frac{x}{5}$ и $y=\sin(x)$ , определим количество общих точек.. Найдем решение графическим методом, строим графики то точкам:

Получили 3 общие точки
Ответ: $4 \to Д$

Відповідь: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & А & Б & В & Г & Д\\ \hline 1& & X & & \\ \hline 2& X & & & \\ \hline 3& & & X & \\ \hline 4& & & & X & \\ \hline \end{array}$$

попереднє завдання № 21 наступне завдання № 23