Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{2\sin(x)-\cos(x)+5}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку \( t = tg(\frac{x}{2}) => \) $$ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$ применяем подстановку $$ \int \frac{1}{2\sin(x)-\cos(x)+5}dx = \int \frac{1}{ 2\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1 - t^2}{1+t^2} +5}\frac{2}{1+t^2}dt = $$$$ = \int \frac{2}{ 4t -1 + t^2 +5 + 5t^2}dt = \int \frac{1}{ 3t^2 + 2t + 2}dt = $$$$ = \int \frac{1}{3(t^2 + 2\frac{1}{3}t + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{2}{3})}dt = \frac{1}{3}\int \frac{1}{(t + \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{9}}dt =$$ применим формулу табличного интеграла арктангенса \( \int \frac{1}{a+x^2}dx = \frac{arctg(\frac{x}{a})}{a} + C\), получаем $$ = \frac{1}{3\frac{\sqrt{5}}{3}}arctg(\frac{t + \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}) +C = \frac{1}{\sqrt{5}}arctg(\frac{3t + 1}{\sqrt{5}}) +C$$ применяем обратную замену \( t = tg(\frac{x}{2}) \), получаем $$ = \frac{1}{\sqrt{5}}arctg(\frac{3 tg(\frac{x}{2}) + 1}{\sqrt{5}}) +C$$
Ответ: \( \int \frac{1}{2\sin(x)-\cos(x)+5}dx = \frac{1}{\sqrt{5}}arctg(\frac{3 tg(\frac{x}{2}) + 1}{\sqrt{5}}) +C\)
