Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. рассмотрим подынтегральное выражение. Представим дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2+1} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$\frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)} = \frac{A(x+1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x+1)^2}{(x+1)^2(x^2+1)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$1 = A(x+1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2 + 2x + 1) $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} A+C = 0\\ A + B +2C+D = 0 \\ A + C + 2D = 0 \\ A +B+ D = 1 \end{cases} => \begin{cases} A = -C\\ B +C = 0 \\ D = 0 \\ A +B = 1 \end{cases} => $$$$ \begin{cases} A = -C\\ 1-A - A = 0 \\ D = 0 \\ B = 1 -A \end{cases} => \begin{cases} C = -\frac{1}{2}\\ A = \frac{1}{2} \\ D = 0 \\ B = \frac{1}{2} \end{cases}$$ подставляем в (1) $$ \frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x+1)^2} - \frac{x}{2(x^2+1)} $$ теперь можно найти интеграл
2. Находим интеграл. $$ \int \frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)} = \int ( \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{2(x+1)^2} - \frac{x}{2(x^2+1)} )dx = $$
применяем:
формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),
формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C\) и
найдем интеграл \( \int \frac{x}{2(x^2+1)} = \frac{1}{4}\int \frac{1 }{x^2+1} d(x^2+1) = \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C\), получаем
$$ = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1)^2}dx - \frac{1}{2} \int \frac{x}{2(x^2+1)}dx =$$$$ = \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C$$
Ответ: \( \int \frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)}dx = \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + C \)
