а). Уравнения сторон треугольника.
Даны три вершины треугольника А(13;-4), В(1;2), С(-5;14), поэтому уравнения сторон будем искать ка уравнение прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(13;-4) и В(1;2) $$AB \quad \frac{x-13}{1-13} = \frac{y+4}{2+4} => y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$
уравнение стороны AC, при известных координатах вершины А(13;-4) и С(-5;14) $$AC \quad \frac{x-13}{-5-13} = \frac{y+4}{14+4} => y = 9-x$$
уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(1;2) и С(-5;14) $$CB \quad \frac{x-1}{-5-1} = \frac{y-2}{14-2} => y = -2x + 4$$
б). Уравнение высоты, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\).
Высота AE опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки A(13;-4) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_{AE} = -\frac{1}{k_{BC}} = \frac{1}{2}\). Найдем уравнение прямой AE, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y +4 = \frac{1}{2}(x - 13) => y = \frac{1}{2}x - \frac{21}{2}$$
Ответ: уравнение высоты \( y = \frac{1}{2}x - \frac{21}{2}\)
в) уравнение медианы треугольника \(ΔАВС\), которая проходит через вершину \(C\)
Для нахождения медианы (обозначим ее \(CF\)) есть координата одной точки \(С(-5;14)\), а координаты второй точки прямой \(F\) найдем как координаты середины отрезка \(BC\) по формуле \( F(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})\) => \( F(\frac{13+1}{2};\frac{-4+2}{2}) \) => \( F(7; -1) \)
Находим уравнение прямой \(CF\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \(C\) и \(F\) уравнение (1)$$ \frac{x+5}{7+5}=\frac{y-14}{-1-14} => y = -\frac{5}{4}x + \frac{31}{4}$$
Ответ: уравнение медианы \( y = -\frac{5}{4}x + \frac{31}{4}\)
г) величину угла \(B\)
Угол \(B\) - угол между прямыми \(AB\) и \(BC\), который рассчитывается по формуле $$tg\phi=|\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}|$$ подставляем значения угловых коэффициентов этих прямых \(k_{AB} = -\frac{1}{2}; \quad k_{BC} = -2\), получаем $$tg(\angle B)=|\frac{-2+\frac{1}{2}}{1 + 2\frac{1}{2}}| = \frac{3}{4} => \angle B = 36.87^0 $$
Ответ: величина угла равна \( \angle B = 36.87^0 \)
д) уравнение прямой, проходящую через вершину \(B\) параллельно противоположной стороне \(AC\);
Обозначим это прямую как \(BM\). Из условия известно, что прямая BM проходит через точку B(1;2) и имеет такое же направление, что и прямая AC. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны \(k_{MB} = k_{AC} = -1 \quad (2)\). Для нахождения прямой BM воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении \( y - y_0 = k(x - x_0)\). Подставляем координаты точки и угловой коэффициент $$ y - 2 = -(x - 1) => y = -x + 3$$
е) расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\)
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \), где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние к которой ищется.
приводим уравнение прямой \(BC\) к общему виду \(y = -2x + 4 => 2x + y - 4 =0\), где \(A =2\), \(B = 1\), координаты точки А(13;-4) => \(x_0=13;y_0=-4\) подставляем в формулу $$d = \frac{|2*13 + (-4) - 4|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$$
Ответ: расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\) равно \(d = \frac{18}{\sqrt{5}}\)
ж) площадь треугольника
Площадь треугольника будем искать по формуле \(S = \frac{1}{2}ah\). Длина высоты уже известна см. п. е) \(h = \frac{18}{\sqrt{5}} \). Необходимо найти длину стороны \(BC\) как расстояние между точками \(В(1;2)\) и \(С(-5;14)\). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), получаем $$a = \sqrt{(-5-1)^2+(14-2)^2} = 6\sqrt{5}$$ подставляем в формулу площади треугольника $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} 6\sqrt{5}\frac{18}{\sqrt{5}} = 54$$
Ответ: площадь треугольника равна \(S_{ΔABC} = 54\)
Наносим на декартовую систему координат полученные уравнения и координаты точек.
