Решение: в знаменателе интеграла корень и \(x^2\), попробуем привести этот интеграл к табличному интегралу арксинуса \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin(x) + C\). Для этого откроем скобки и выделим полный квадрат в знаменателе $$x(1-x) = x -x^2 = -(x^2-2\frac{1}{2}x +\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) =$$$$ = -[(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] = \frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$$ подставляем в интеграл $$ \int \frac{dx}{\sqrt{х(1-х)}} = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{1}{4} - (x-\frac{1}{2})^2}} = \int 2\frac{dx}{\sqrt{1 - 4(x-\frac{1}{2})^2}} =$$ применим метод замены независимой переменной \(2(x-\frac{1}{2}) = t => 2dx = dt\) подставляем в интеграл $$ = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \arcsin(t) + C =$$ применяем обратную замену \(2(x-\frac{1}{2}) = t => 2x-1 = t\) $$ = \arcsin(2x-1) + C $$
Ответ: \(\int \frac{dx}{\sqrt{х(1-х)}} = \arcsin(2x-1) + C\)
