Для функції $y = f(x)$ знайдіть первісну $F(x)$, графік якої проходить через точку $A$, як

Як відомо первісна $F (x)$ - функція, похідна якої дорівнює функції $f (x)$. З визначення невизначеного інтеграла випливає, що

$$\int f (x) \, dx = F (x) + C$$ таким чином виходить, що функції $f (x)$ відповідає безліч первісних, які виходять шляхом паралельного перенесення уздовж осі $Oy$ на величину $C$. Тобто для розв'язання задачі необхідно знайти функцію первісної і шляхом підстановки значення точки, через яку первісна проходить, знайти значення $C$. Вирішуємо $$\int f (x) \, dx = \int (6x ^ 2 - 4x + 3) \, dx =$$ $$= 6 \frac {x ^ {2 +1}} {2 +1} - 4 \frac {x ^ {1 +1}} {1 +1} +3 \frac {x ^ {0 +1}} {0 +1} + C = 2x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x + C$$ Отримали рівняння первісної, відомо, що графік функції первісної проходить через точку $A (-1; -3)$. Підставимо цю точку в рівняння первісної і знайдемо $C$ $$F (A) = 2x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x + C =>$$ $$-3 = 2 (-1) ^ 3 - 2 (-1) ^ 2 + 3 (-1) + C => -3 = -2 -2 -3 + C => C = 4$$ Отримали рівняння первісної, що проходить через задану точку $F (x) = 2x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x +4$.