Вычислить интеграл, используя формулу замены переменной \[\int \frac{(arctg(x))^2}{1+x^2}dx\]

Решение: вычислим неопределенный интеграл методом замены независимой переменной. Введем замену \(arctg(x) = t => \frac{1}{1+x^2}dx = dt\), подставляем в интеграл $$ \int \frac{(arctg(x))^2}{1+x^2}dx = \int t^2dt = \frac{t^3}{3} + C$$ применяем обратную замену \(arctg(x) = t \), получаем $$ = \frac{arctg^3(x)}{3} + C$$
Ответ: \( \int \frac{(arctg(x))^2}{1+x^2}dx = \frac{arctg^3(x)}{3} + C\)