Решение: для нахождения интеграла проведем преобразования, применим формулу суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\). применим эту формулу для подынтегрального выражения $$ \int \frac{е^{3х}+1}{e^х+1}dx = \int \frac{(е^х+1)(е^{2х} - e^х +1)}{е^х+1}dx = $$$$ = \int (е^{2х} - e^х +1)dx = $$ применим свойства линейности:
1. свойство линейности \( \int af(x)dx = a\int f(x)dx\)
2. свойство линейности \( \int [f_1(x) +f_2(x) + ... +f_n(x)]dx = \) \( = \int f_1(x)dx + \int f_2(x)dx + ... + \int f_n(x)dx\)
получим $$ = \int е^{2х}dx - \int е^хdx +\int dx = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + x + C$$
Ответ: \(\int \frac{е^{3х}+1}{e^х+1}dx = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + x + C\)
