Решение: Свойство линейности неопределённого интеграла для любых постоянных \(С_1\) и \(С_2\): $$ \int (C_1f(x) + C_2g(x))dx = C_1\int f(x)dx + C_2\int g(x)dx \quad (1)$$
Проведем преобразования интеграла $$ \int (1- \frac{1}{х^2})\sqrt{х\sqrt{х}}dx = \int (1- \frac{1}{х^2})х^{ \frac{3}{4}}dx = $$$$ = \int (х^{ \frac{3}{4}}- \frac{1}{х^\frac{5}{4}})dx = \int (х^{ \frac{3}{4}}- х^{-\frac{5}{4}})dx = $$ применим формулу свойства линейности неопределённого интеграла (1) $$ = \int х^{ \frac{3}{4}} dx - \int х^{-\frac{5}{4}}dx = $$ применим формулу табличного интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{1}{\frac{3}{4}+1} х^{ \frac{3}{4}+1} - \frac{1}{-\frac{5}{4}+1} х^{-\frac{5}{4}+1} = \frac{4}{7} х^{ \frac{7}{4}} + 4 \frac{1}{х^{\frac{1}{4}}} +C $$
Ответ: \( \int (1- \frac{1}{х^2})\sqrt{х\sqrt{х}}dx = \frac{4}{7} х^{ \frac{7}{4}} + 4 \frac{1}{х^{\frac{1}{4}}} +C \)
