Непрерывная случайная величина задана интервальным рядом распределения. Построить эмпирическую функцию распределения, а также гистограмму частот непрерывной случайной величины.
Решение:
По данным этой таблицы найдем накопленные частоты, т. е. число значений, которые попали в этот интервал и все предшествующие и накопленные относительные частоты, отношение накопленной частоты \(m_{x_i}\) к объему выборки \(n\) называется накопленные относительные частоты: \(w_{a_i} = \frac{m_i}{n}\)
Вычислим объем выборки: \(n=4+6+9+10+11=40\)
Наименьшая варианта равна: \(a_1=3\), поэтому \(F_n(a_1=3)=0\) при \(x ≤ 3\)
Значения \(X < 7\), а именно: \(a_1=3\), наблюдались 4 раз, следовательно, \(F_n(a_2=7)=\frac{4}{40}=0.1\) при \(3 < x ≤ 7\)
Значения \(X < 11\), а именно: \(a_1=3, a_2=7\), наблюдались 10 раз, следовательно, \(F_n(a_3=11)=\frac{10}{40}=0.25\) при \(7 < x ≤ 11\)
Значения \(X < 15\), а именно: \(a_1=3, a_2=7, a_3=11\), наблюдались 19 раз, следовательно, \(F_n(a_4=15)=\frac{19}{40}=0.475\) при \(11 < x ≤ 15\)
Значения \(X < 19\), а именно: \(a_1=3, a_2=7, a_3=11, a_4=15\), наблюдались 29 раз, следовательно, \(F_n(a_5=19)=\frac{29}{40}=0.725\) при \(15 < x ≤ 19\)
Т.к. \(X = 19\) - наибольшая варианта, то \(F_n(a_6=23)=1\) при \(X > 23\)
$$\begin{array}{|c|c|}\hline x_i& 3-7 & 7-11& 11-15 & 15-19& 19-23 \\ \hline m_i& 4& 6 & 9& 10&11 \\ \hline \\ m_{x_i}& 0& 0+4=4 & 4+6=10& 10+9=19& 19+10=29&29+11 =40 \\ \hline a_i& 3 & 7& 11 & 15 & 19 & 23 \\ \hline \\ w_{a_i}& 0& \frac{4}{40}=0.1 & \frac{10}{40}=0.25 & \frac{19}{40}=0.475 & \frac{29}{40}=0.725 &\frac{40}{40}=1 \\ \hline \end{array}$$
Определим эмпирическую функцию \(F_n(x )\) и построим ее график
Эмпирическая функция $$F_n(a_i) = \left[\begin{array}{c} 0 & при & a_1=3 \\ 0.1 & при & a_2=7 \\ 0.25 & при & a_3=11 \\ 0.475 & при & a_4=15 \\ 0.725 & при & a_5=19 \\ 1 & при & a_6=23 \\ \end{array}\right.$$
График эмпирической функции \(F_n(a_i)\)
