Решение:
1. проверим равенство \( D(2X - 3Y) = 4D(X) + 9D(Y) \)
Для проверки равенства, найдем отдельно дисперсии правой и левой части равенства
Найдем:
1) Найдем \(D(2X - 3Y) \). Обозначим за \(Z\) - случайную величину равную \(Z = 2X-3Y\). Найдем возможные значения случайной величины (перебираем все возможные комбинации) и заполним таблицу
\(Z_1 = 2*2 - 3*1 = 1 \)
Найдем вероятность этого значения. Для того, чтобы случайная величина \(Z\) была равна \(Z = 1\), необходимо, чтобы случайная величина \(X\) была равна \(X =2 \), а случайная величина \(Y = 1\). Вероятности этих возможных значений из условия равны \(P_x = 0.1; \quad P_y = 0.3\). Так как случайные величины \(X; Y\) независимы, то вероятность их совместного появления находится по теореме умножения вероятностей \(P_{z_1} = P_x*P_y = 0.1*0.3 = 0.03\)
\(Z_2 = 2*2 - 3*2 = -2 \) вероятность равна \(P_{z_2} = P_x*P_y = 0.1*0.1 = 0.01\)
\(Z_3 = 2*2 - 3*(-1) = 7 \) вероятность равна \(P_{z_3} = P_x*P_y = 0.1*0.6 = 0.06\)
\(Z_4 = 2*3 - 3*1 = 3 \) вероятность равна \(P_{z_4} = P_x*P_y = 0.9*0.3 = 0.27\)
\(Z_5 = 2*3 - 3*2 = 0 \) вероятность равна \(P_{z_5} = P_x*P_y = 0.9*0.1 = 0.09\)
\(Z_6 = 2*3 - 3*(-1) = 9\) вероятность равна \(P_{z_6} = P_x*P_y = 0.9*0.6 = 0.54\)
Получили таблицу распределения для случайной величины \(Z\)$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Z& 1 & -2 & 7 & 3 & 0 & 9 \\ \hline P& 0.03 & 0.01 & 0.06 & 0.27 & 0.09 & 0.54 \\ \hline \\ M(Z) & 6.1 & 6.1 & 6.1 & 6.1 & 6.1 & 6.1\\ \hline (Z_k - M(Z_k))^2*p_k & 0.7803 & 0.6561 & 0.0486 & 2.5947 & 3.3489 & 4.5414\\ \hline \end{array}$$ Находим математическое ожидание случайной величины \(Z\) по формуле \(M(Z) = \sum_{k=1}^{\infty}z_k*p_k\), получаем
$$M(Z) = 1*0.03 - 2*0.01 + 7*0.06 +3*0.27 + 0*0.09 + 9*0.54 = 6.1$$Находим дисперсию случайной величины \(Z\) по формуле \(D(Z) = \sum_{k=1}^{\infty}(Z_k - M(Z_k))^2*p_k\)
$$D(Z) = 0.7803 + 0.6561 + 0.0486 + 2.5947 + 3.3489 + 4.5414 = 11.97$$
2. Найдем \(4D(X) + 9D(Y)\). Найдем дисперсии каждой случайной величины по известной методику п.1
1) найдем дисперсию \(4D(X)\)$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline X& 2 & 3 \\ \hline P& 0.1 & 0.9 \\ \hline \\ M(X) & 2.9 & 2.9 \\ (Z_k - M(Z_k))^2*p_k & 0.081 & 0.009 \\ \hline \end{array}$$
$$M(X) = 2*0.1 + 3*0.9 =2.9$$$$D(X) = 0.081+ 0.009 = 0.09 => 4D(X) = 0.36$$
2) найдем дисперсию \(9D(Y)\)$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline YX& 1 & 2 & -1 \\ \hline P& 0.3 & 0.1 & 0.6 \\ \hline \\ M(X) & -0.1 & -0.1 & -0.1 \\ (Z_k - M(Z_k))^2*p_k & 0.363 & 0.441 & 0.486 \\ \hline \end{array}$$
$$M(X) = 1*0.3 + 2*0.1 - 1*0.6 = -0.1$$$$D(X) = 0.363+ 0.441 + 0.486 = 1.29 => 9D(Y) = 11.61$$$$4D(X) + 9D(Y) = 0.36 + 11.61 = 11.97$$
3. Сравниваем результаты п.1 и п.2
\(D(2X - 3Y) = 11.97 \)
\(4D(X) + 9D(Y) = 11.97\) получили истинное равенство $$D(2X - 3Y) = 4D(X) + 9D(Y)$$
