Решение: найдем интеграл \( \int\frac{x^3}{x^8+5}dx\)
применим метод замены независимой переменной. Введем замену \(x^4 = t => 4x^3dx = dt => x^3dx = \frac{1}{4}dt\), подставляем $$\int\frac{x^3}{x^8+5}dx = \frac{1}{4}\int\frac{1}{t^2+5}dt =$$ применяем формулу табличного интеграла арктангенса \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = arctg(\frac{x}{a}) +C\) $$ = \frac{1}{4}arctg(\frac{t}{\sqrt{5}}) + C$$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{4}arctg(\frac{x^4}{\sqrt{5}}) + C$$
Ответ: \( \int\frac{x^3}{x^8+5}dx = \frac{1}{4}arctg(\frac{x^4}{\sqrt{5}}) + C\)
