Ищем экстремумы функции двух переменных $$ z=6x^2y+2y^3-24x-30y $$
Решение:
1. находим частные производные
$$z'_x = (6x^2y+2y^3-24x-30y)'_x = 12xy-24$$
$$z'_y = (6x^2y+2y^3-24x-30y)'_y = 6x^2+6y^2-30$$
2. необходимое условие локального экстремума.
Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений $$ \begin{cases} 12xy-24 = 0 \\ 6x^2+6y^2-30 = 0 \end{cases} => \begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ x^2+(\frac{2}{x})^2-5 = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} y_1 = 2;y_2 = -2;y_3 = 1;y_4 =-1 \\ x_1 =1;x_2=-1;x_3=2;x_4=-2 \end{cases} $$ Получили стационарные точки \((1; 2),(-1; -2),(2; 1),(-2; -1)\).
3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные:
$$a_{11} = z''_{x^2} = (12xy-24)'_x = 12y$$
$$a_{12} = z''_{xy} =(12xy-24)'_y = 12x$$
$$a_{22} = z''_{y^2} = (6x^2+6y^2-30)'_y =12y$$
3. находим определитель $$Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$$ подставляем значения коэффициентов $$ Δ_{xy} = 12y*12y - (12x)^2 =144(y^2-x^2)$$
рассчитаем значение определителя для каждой точки
для точки \((1; 2)\) получаем \(Δ_{xy} = 144(y^2-x^2) = 144(2^2-1^2) > 0; \quad a_{11} = 12y =24 > 0; \quad a_{22} = 12y = 24 > 0 \)
для точки \((-1; -2)\) получаем \(Δ_{xy} = 144(y^2-x^2) = 144(2^2-1^2) > 0; \quad a_{11} =12y = -24 < 0; \quad a_{22} = 12y = -24 < 0 \)
для точки \((2; 1)\) получаем \(Δ_{xy} = 144(y^2-x^2) = 144(1^2-2^2) < 0; \quad a_{11} = 12y =12 > 0; \quad a_{22} = 12y = 12 > 0 \)
для точки \((-2; -1)\) получаем \(Δ_{xy} = 144(y^2-x^2) = 144(1^2-2^2) < 0; \quad a_{11} = 12y =-12 < 0; \quad a_{22} = 12y = -12 < 0 \)
4. анализируем каждую точку
для точки \((1; 2)\) анализируем \(Δ_{xy} > 0 \quad a_{11} > 0; \quad a_{22} > 0 \) - получили экстремум минимум.
для точки \((-1; -2)\) анализируем \(Δ_{xy} > 0; \quad a_{11} < 0; \quad a_{22} < 0 \) - получили экстремум максимум.
для точки \((2; 1)\) анализируем \(Δ_{xy} < 0\) - в данной точке экстремума нет
для точки \((-2; -1)\) анализируем \(Δ_{xy} < 0\) - в данной точке экстремума нет
определим значение функции в точках экстремумах \(z(1; 2) = 6x^2y+2y^3-24x-30y = -56\)
определим значение функции в точках экстремумах \(z(-1; -2) = 6x^2y+2y^3-24x-30y = 56\)
Ответ:
функция имеет экстремум минимум с координатами \((1; 2;-56)\)
функция имеет экстремум максимум с координатами \((-1; -2;56)\)
