Найдем предел: $$ \lim_{n \to +\infty}(1-\frac{2}{3n})^{n+3}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{n \to +\infty}(1-\frac{2}{3n})^{n+3} = (1-\frac{2}{3\infty})^{\infty+3} = 1^\infty$$ получили неопределенность вида \(1^\infty\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме второго замечательного предела . Рассмотрим оба метода:
1. Правило Лопиталя:
Проведем преобразования $$ \lim_{n \to +\infty}(1-\frac{2}{3n})^{n+3} = e^{\lim_{n \to +\infty}\ln[(1-\frac{2}{3n})^{n+3}]} = $$$$ = e^{\lim_{n \to +\infty}(n+3)\ln[(1-\frac{2}{3n})} = \quad (1)$$ Найдем отдельно предел $$\lim_{n \to +\infty}(n+3)\ln[(1-\frac{2}{3n}) = \infty*0 $$ преобразуем выражение, чтобы в пределе получить неопределенность вида \(\frac{\infty}{\infty}\) $$\lim_{n \to +\infty}\frac{\ln(1-\frac{2}{3n})}{\frac{1}{n+3}} = \frac{0}{0} $$
Правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя $$\lim_{n \to +\infty}\frac{\ln(1-\frac{2}{3n})}{\frac{1}{n+3}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(\ln(1-\frac{2}{3n}))'}{(\frac{1}{n+3})'} = $$$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2}{n(3n-2)}}{-\frac{1}{(n+3)^2}} = -\lim_{n \to +\infty}\frac{2(n+3)^2}{n(3n-2)} = -\frac{2}{3}$$Подставляем ответ в (1)
$$ e^{\lim_{n \to +\infty}(n+3)\ln[(1-\frac{2}{3n})} = e^{-\frac{2}{3}}$$
2. Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$ \lim_{n \to +\infty}(1-\frac{2}{3n})^{n+3} = \lim_{n \to +\infty}(1 + (-\frac{2}{3n}))^{n+3} =$$ Получили \(f(x) = -\frac{2}{3n}\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{-\frac{2}{3n}} = - \frac{3n}{2}\), степень \(n+3\) приведем к этому виду \(n+3 = -\frac{3}{2}n*(-\frac{2}{3}) + 3\). Подставляем $$ = \lim_{n \to +\infty}(1+(-\frac{2}{3n}))^{ -\frac{3}{2}n*(-\frac{2}{3}) + 3} = \lim_{n \to +\infty}(1+(-\frac{2}{3n}))^{ -\frac{3}{2}n*(-\frac{2}{3}}(1+(-\frac{2}{3n}))^3$$Получили второй замечательный предел \( \lim_{n \to +\infty}(1+(-\frac{2}{3n}))^{ -\frac{3}{2}n} = e \), а предел \(\lim_{n \to +\infty}(1+(-\frac{2}{3n}))^3 =1\) т.е. получаем $$ = e^{-\frac{2}{3} }$$
Ответ: \( \lim_{n \to +\infty}(1-\frac{2}{3n})^{n+3} = e^{-\frac{2}{3} } \)
