Исследуем функцию \( y=x+3\sqrt[3]{x^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Область определения функции $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)+3\sqrt[3]{(-x)^2} \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( x+3\sqrt[3]{x^2} = 0 => x_1 = 0; \quad x_2 = -27\). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\), \((-27;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -27) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-30) = x+3\sqrt[3]{x^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((-27; 0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = x+3\sqrt[3]{x^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((0; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(9) = x+3\sqrt[3]{x^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = x+3\sqrt[3]{x^2} = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0;0)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x+3\sqrt[3]{x^2} )'= \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} + 1$$ приравняем к 0 $$ \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} + 1 =0 => x = -8$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Интервалы монотонности.
Функция не имеет критических точек, поэтому монотонность будем анализировать на интервалах ОДЗ .
интервал \((-\infty; -8)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-9) = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} + 1 > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-8; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} + 1 < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} + 1 > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = -8\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((-8; 4)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{2\sqrt[3]{x^2}}{x} + 1)' = -\frac{2}{3(x^2)^{\frac{2}{3}}} $$ Приравняем к нулю $$ -\frac{2}{3(x^2)^{\frac{2}{3}}} = 0 => $$ при всех значениях \(x\) вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция имеет не имеет точку, в которой вторая производная равна нулю - точка возможного перегиба, т.е. точек перегиба нет
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = x+3\sqrt[3]{x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+3\sqrt[3]{x^2}}{x} = 1 $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ нейдем его
$$ \lim_{x \to +\infty}(x+3\sqrt[3]{x^2} - x) = \lim_{x \to +\infty}(3\sqrt[3]{x^2}) = \infty$$
Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(x+3\sqrt[3]{x^2}) = +\infty $$$$ \lim_{x \to -\infty}(x+3\sqrt[3]{x^2} - x) = -\infty $$
Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
