Найдем несобственный интеграл: \( \int_{0}^{+\infty}\frac{x^3dx}{(x^4+1)^{3}}\)
Решение: несобственным интегралом первого рода от функции \(f(x)\), непрерывной при \(a \leq x \leq \infty\) называется предел $$ \int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)dx$$
Решаем. Подынтегральная функция определена и непрерывна во всех точках заданного интеграла \([0;\infty)\), соответственно, согласно определения несобственного интеграла получаем $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x^3dx}{(x^4+1)^{3}} = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b}\frac{x^3dx}{(x^4+1)^{3}} = $$ для нахождения интеграла применим метод замены независимой переменной \(x^4+1 = t => 4x^3dx = dt => x^3dx = \frac{1}{4}dt\), пересчитаем пределы интегрирования \(x=0 => t =1; \quad x=\infty => t = \infty\), подставляем $$ = \lim_{b \to \infty} \frac{1}{4} \int_{1}^{b}\frac{dt}{t^3} = \frac{1}{4}\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{2}t^{-2}|_1^b) =$$$$ =\frac{1}{4} \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{2}b^{-2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$$
Ответ: \( \int_{0}^{+\infty}\frac{x^3dx}{(x^4+1)^{3}} = \frac{1}{8} \)
