Решение: найдем интеграл \( \int x^3e^xdx \) для нахождения интеграла применим трижды формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Введем обозначения \(dv = e^xdx => v = e^x\), \(u = x^3 => du = 3x^2dx\), подставляем $$ =x^3e^x - 3\int x^2e^xdx = $$повторно применяем формулу интегрирования по частям \(dv = e^xdx => v = e^x\), \(u = x^2 => du = 2xdx\)$$ =x^3e^x - 3(x^2e^x - 2\int xe^xdx) = $$ третий раз применяем формулу интегрирования по частям \(dv = e^xdx => v = e^x\), \(u = x => du = dx\) $$ =x^3e^x - 3(x^2e^x - 2(xe^x - \int e^xdx)) = x^3e^x - 3(x^2e^x - 2(xe^x - e^x)) + C = $$$$ = x^3e^x - 3x^2e^x + 6xe^x - 6e^x + C = e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C $$
Ответ: \( \int x^3e^xdx = e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C\)
