Решение: найдем площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^2 - 3\) и прямой \(y = -2x\) (смотрим рисунок).
Схема нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми.
1. Находим точки пересечения.
Для нахождения точек пересечения составим систему уравнений $$ \begin{cases}y = x^2 - 3\\y = -2x\end{cases} => \begin{cases}x^2 +2x - 3= 0\\ y = -2x\end{cases} =>$$$$ \begin{cases}x_1 = -3; \quad x_2=1\\ y_1 = 6; \quad y_2 = -2\end{cases} $$ нашли границы интегрирования \(x \in (-3;1)\)
2. Находим площадь фигуры.
Площадь находится по формуле \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx = \int_a^b[y_2 - y_1]dx\)
\(y_2\) - функция выше функции \(y_1\), согласно рисунка \(y_2= -2x\), а \(y_1= x^2 - 3\). Подставляем в формулу площади $$S = \int_{-3}^1[-2x - x^2 +3]dx = $$применим формулу Ньютона-Лейбница \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) , получим $$ = -x^2 - \frac{x^3}{3} + 3x|_{-3}^1 = -1-\frac{1}{3} + 3 +9 -9 + 9 = 10\frac{2}{3}$$
Ответ: площадь фигуры равна \(S = 10\frac{2}{3}\)
