Решение: найдем интеграл \( \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin(x)\cos(x)*3x dx \) проведем преобразования, применим формулу синуса двойного угла \(\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\), получили $$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin(x)\cos(x)*3x dx = \frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin(2x)*x dx$$применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\). Введем обозначения \(dv = \sin(2x)dx => v = -\frac{\cos(2x)}{2}\), \(u = x => du = dx\), подставляем $$ = \frac{3}{2}[-x\frac{\cos(2x)}{2}|_0^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)*x dx] = $$$$ = \frac{3}{2}[-x\frac{\cos(2x)}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)|_0^{\frac{\pi}{4}}] =$$применим формулу Ньютона-Лейбница \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) , получим$$ = \frac{3}{2}[0 +\frac{1}{4} - 0 - 0] = \frac{3}{8} $$
Ответ: \( \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin(x)\cos(x)*3x dx = \frac{3}{8}\)
