Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{tg(x)-\sin(x)}{x-\sin(x)} $$
Решение:
1. Найдем предел функции при \( x \to 0 \) $$ \lim_{x \to 0} \frac{tg(x)-\sin(x)}{x-\sin(x)} = \frac{tg(0)-\sin(0)}{0-\sin(0)} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0} \). Применяем правило Лопиталя.
2. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 0} \frac{tg(x)-\sin(x)}{x-\sin(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{(tg(x)-\sin(x))'}{(x-\sin(x))'} = $$ применяем формулы производной синуса, тангенса, степенной функций в числителе и в знаменателе дроби отдельно $$ = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}-\cos(x)}{1 - \cos(x)} = \frac{\frac{1}{\cos^2(0)}-\cos(0)}{1 - \cos(0)} =\frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\) Преобразуем дробь $$ = \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{\cos^2(x) - \cos^3(x)} = $$Повторно применяем правило Лопиталя $$ = \lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos^3(x))'}{(\cos^2(x) - \cos^3(x))'} = \lim_{x \to 0}\frac{3\cos^2(x)\sin(x)}{-2\cos(x)\sin(x) + 3\cos^2(x)\sin(x)} = $$$$ = \lim_{x \to 0}\frac{3\cos^2(x)}{-2\cos(x) + 3\cos^2(x)} = \frac{3\cos^2(0)}{-2\cos(0) + 3\cos^2(0)} = 3$$
3. Ответ: \( \lim_{x \to 0} \frac{tg(x)-\sin(x)}{x-\sin(x)} = 3 \)
