1. Проверим, образуют ли вектора \(e_1,е_2,е_3\) базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые, таким образом, есои мы составим определитель из координат этих векторов и найдем его, согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Решение:
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов \(e_1,е_2,е_3\) $$|A| = \left|\begin{array}{c}1 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right| = 1*3*3+1*2*2+2*5*1 - 2*3*1-5*2*1-2*1*3=1$$получили, что определитель не равен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис \(R^3\).
2. Найдем координаты вектора b(12,23,15) в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение $$Ax=b$$ методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы \((A|b)\) путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной.
$$(A|B) = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 12\\ 23\\ 15 \end{array}\right.\right) =$$
Выберем элемент \(a_{11} \) за ведущий, вычтем из второй строки первую $$= \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 12\\ 11\\ 15\end{array}\right.\right) =$$
вычитаем из третьей строки первую $$=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 12\\ 11\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент \(a_{33}\), во второй строку элемент \(a_{23} = 0\), то что и нужно, т.е. с этой строкой ничего делать не будем.
Умножим третью строку на 2 и вічтем из первой$$=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 6\\ 11\\ 3\end{array}\right.\right) =$$
Умножим третью строку на 3 и вычтем из второй$$=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 6\\ 2\\ 3\end{array}\right.\right) =$$
Умножим вторую строку на 2 и вычтем из первой$$=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2\\ 2\\ 3\end{array}\right.\right) =$$
Получили расширенную матрицу у которой матрица \(A\) - единичная, а матрица $$b =\left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 3 \end{array}\right)$$
Ответ: координаты вектора \(x\) в новом базисе \(b =\left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 3 \end{array}\right)\)
