Векторы $e_1,е_2,е_3$ и x заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы

1. Проверим, образуют ли  вектора $e_1,е_2,е_3$  базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые, таким образом, есои мы составим определитель из координат этих векторов и найдем его, согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Решение:
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов $e_1,е_2,е_3$ $$|A| = \left|\begin{array}{c}1 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right| = 1*3*3+1*2*2+2*5*1 - 2*3*1-5*2*1-2*1*3=1$$ получили, что определитель не равен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис $R^3$.
2. Найдем координаты вектора b(12,23,15) в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение $$Ax=b$$ методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы $(A|b)$ путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной.
  $$(A|B) = \left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 5\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 12\\  23\\ 15 \end{array}\right.\right) =$$
Выберем элемент $a_{11}$ за ведущий,  вычтем из второй строки первую $$= \left(\begin{array}{c}  1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 12\\  11\\ 15\end{array}\right.\right) =$$
вычитаем из третьей строки первую $$=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 12\\  11\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент $a_{33}$, во второй строку элемент $a_{23} = 0$, то что и нужно, т.е. с этой строкой ничего делать не будем.
Умножим третью строку на 2 и вічтем из первой $$=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 6\\  11\\ 3\end{array}\right.\right) =$$
Умножим третью строку на 3 и вычтем из второй $$=\left(\begin{array}{c} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 6\\  2\\ 3\end{array}\right.\right) =$$
Умножим вторую строку на 2 и вычтем из первой $$=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2\\  2\\ 3\end{array}\right.\right) =$$
Получили расширенную матрицу у которой матрица $A$ - единичная, а матрица $$b =\left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 3 \end{array}\right)$$
Ответ: координаты вектора $x$ в новом базисе $b =\left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 3 \end{array}\right)$