Найти экстремумы функции двух переменных: z=-2x^3+3x\sqrt{y}+18x-1,5y
Ищем экстремумы функции двух переменных z=-2x^3+3x\sqrt{y}+18x-1.5y Решение:1. находим частные производные z'_x = (-2x^3+3x(\sqrt{y}))+18x-1.5y)'_x = -6x^2 +3\sqrt{y} +18z'_y = (-2x^3+3x(\sqrt{y}))+18x-1.5y)'_y = \frac{3x}{2\sqrt{y}} - 1.5 2. необходимое условие локального экстремума.Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений \begin{cases} -6x^2 +3\sqrt{y} +18 = 0 \\ \frac{3x}{2\sqrt{y}} - 1.5 = 0 \end{cases} => \begin{cases} 2( \sqrt{y})^2 -\sqrt{y} -6 = 0 \\ x = \sqrt{y} \end{cases} \begin{cases} \sqrt{y}_1 = 2; \quad \sqrt{y}_2 = -\frac{3}{2} \\ x = \sqrt{y} \end{cases} => \begin{cases} y = 4; \\ x = 2 \end{cases} Получили стационарную точку A(2; 4).3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные: a_{11} = z''_{x^2} = (6x^2 +3\sqrt{y} +18)'_x = 12xa_{12} = z''_{xy} =(6x^2 +3\sqrt{y} +18)'_y = \frac{3}{2\sqrt{y}}a_{22} = z''_{y^2} = (\frac{3x}{2\sqrt{y}} - 1.5)'_y = -\frac{3x}{4y^{\frac{3}{2}}}4. находим определитель Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2 подставляем значения коэффициентов Δ_{xy} = 12x(-\frac{3x}{4y^{\frac{3}{2}}}) - ( \frac{3}{2\sqrt{y}})^2 = -\frac{9x^2}{y^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{4y} = -\frac{9}{y}(\frac{4x^2+\sqrt{y}}{4y^{\frac{3}{2}}})рассчитаем значение определителя для точкидля точки A(2; 4) получаем Δ_{xy} = -\frac{9}{y}(\frac{4x^2+\sqrt{y}}{4y^{\frac{3}{2}}}) < 0; \quad a_{11} = 12x = 24 > 0; \quad a_{22} = -\frac{3x}{4y^{\frac{3}{2}}} < 0 5. анализируем точку A(2; 4)для точки A(2; 4) получили Δ_{xy} < 0 - в этой точке экстремума нет.Ответ: функция не имеет экстремумов