Найдем интеграл: \( \int x\ln(1-3x)dx \)
Решение:
1. найдем первообразную неопределенного интеграла \( \int x\ln(1-3x)dx \)
для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\). Введем обозначения \(dv = xdx => v = \frac{x^2}{2}\), \(u = \ln(1-3x) => du = -\frac{3}{1 -3x}dx = \frac{1}{x - \frac{1}{3}}dx\).
2.Найдем неопределенный интеграл $$ \int x\ln(1-3x)dx = \frac{x^2}{2} \ln(1-3x) - \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x - \frac{1}{3}}dx = \quad (1)$$
Найдем интеграл $$ \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x - \frac{1}{3}}dx = $$ проведем преобразования подынтегрального выражения. Выделим целую часть дроби \( \frac{x^2}{2(x - \frac{1}{3})} = \frac{x^2-\frac{1}{9} + \frac{1}{9}}{2(x - \frac{1}{3})} = \) в числителе получили формулу разности квадратов \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\), получаем \(\frac{x^2-\frac{1}{9}}{2(x - \frac{1}{3})} + \frac{\frac{1}{9}}{2(x - \frac{1}{3})}= \frac{(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3}))}{2(x - \frac{1}{3})} + \frac{1}{18(x - \frac{1}{3})} = \frac{x+\frac{1}{3}}{2} + \frac{1}{18(x - \frac{1}{3})} \) подставляем в интеграл $$ = \int (\frac{x+\frac{1}{3}}{2} + \frac{1}{18(x - \frac{1}{3})})dx = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{6}x + \frac{1}{18}\ln(x- \frac{1}{3})$$
Подставляем в (1) $$ = \frac{x^2}{2} \ln(1-3x) - \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18}\ln(x- \frac{1}{3})$$
Ответ: \( \int x\ln(1-3x)dx = \frac{x^2}{2} \ln(1-3x) - \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18}\ln(x- \frac{1}{3})\)
