Найти неопределенный интеграл $$\int x\ln(1-3x)dx$$

Найдем интеграл: $\int x\ln(1-3x)dx$
Решение:
1. найдем первообразную неопределенного интеграла $\int x\ln(1-3x)dx$
для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям $\int udv = uv - \int vdu$. Введем обозначения $dv = xdx => v = \frac{x^2}{2}$, $u = \ln(1-3x) => du = -\frac{3}{1 -3x}dx = \frac{1}{x - \frac{1}{3}}dx$.
2.Найдем неопределенный интеграл

$$\int x\ln(1-3x)dx =  \frac{x^2}{2} \ln(1-3x) - \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x - \frac{1}{3}}dx = \quad (1)$$
Найдем интеграл $$\int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x - \frac{1}{3}}dx =$$ проведем преобразования подынтегрального выражения. Выделим целую часть дроби $\frac{x^2}{2(x - \frac{1}{3})}  = \frac{x^2-\frac{1}{9} + \frac{1}{9}}{2(x - \frac{1}{3})} =$ в числителе получили формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$, получаем  $\frac{x^2-\frac{1}{9}}{2(x - \frac{1}{3})} + \frac{\frac{1}{9}}{2(x - \frac{1}{3})}= \frac{(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3}))}{2(x - \frac{1}{3})} + \frac{1}{18(x - \frac{1}{3})} =  \frac{x+\frac{1}{3}}{2} + \frac{1}{18(x - \frac{1}{3})}$ подставляем в интеграл $$= \int (\frac{x+\frac{1}{3}}{2} + \frac{1}{18(x - \frac{1}{3})})dx = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{6}x + \frac{1}{18}\ln(x- \frac{1}{3})$$
Подставляем в (1) $$= \frac{x^2}{2} \ln(1-3x) - \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18}\ln(x- \frac{1}{3})$$
Ответ: $\int x\ln(1-3x)dx = \frac{x^2}{2} \ln(1-3x) - \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18}\ln(x- \frac{1}{3})$