Решение: в задании дифференциальное уравнение вида (F(y,y',y'') = 0), поэтому будем решать дифференциальное уравнение второго порядка методом понижения степени производной
1. Решаем методом понижения степени производной.
Введем замену \(y' = p => y'' = \frac{d}{dx}(y'_x) = \frac{d}{dx}(p(y))\frac{dy}{dx} = p'_yp\), подставляем в дифференциальное уравнение $$ y'' + yy'^3 = 0 => p'_yp + y*p^3 = 0 => p(p'_y + yp^2) = 0$$ получили систему уравнений $$\begin{cases}p = 0\\p'_y + yp^2 = 0\end{cases}=> \begin{cases}y' = 0\\ \frac{dp}{dy} = -yp^2\end{cases}=>$$ решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными$$ \begin{cases}y = C\\ \frac{dp}{p^2} = -ydy\end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ -\frac{1}{p} = -\frac{y^2}{2} + C_1 \end{cases}=> $$$$ \begin{cases}y = C\\ p = \frac{2}{y^2 + C_1}\end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y^2 + C_1}\end{cases}=> $$ опять решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными$$ \begin{cases}y = C\\ (y^2+C_1)dy = 2dx \end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ \frac{y^3}{3} + C_1y = 2x + C_2 \end{cases}$$
2. Решаем задачу Коши с начальными условиями \( y(0)=1; \quad y'(0)=2 \)
Находим значение функции решения в точке \(y(0)=1\) $$\frac{1^3}{3} + C_1*1 = 2*0 + C_2 => \frac{1}{3} + C_1 =C_2$$
Находим значение первой производной функции решения в точке \(y'(0)=2\) $$ (\frac{y^3}{3} + C_1y)' = (2x + C_2)' => y^2y' + C_1y' = 2$$ подставляем условия Коши $$1^2*2 + C_1*2 = 2 => C_1 = 0$$ Составляем систему уравнений $$\begin{cases} \frac{1}{3} + C_1 =C_2 \\ C_1 = 0\end{cases}=> \begin{cases} C_2 = \frac{1}{3} \\ C_1 = 0\end{cases}$$
Подставляем в решение уравнения $$\frac{y^3}{3} + C_1y = 2x + C_2 => \frac{y^3}{3} + 0*y = 2x + \frac{1}{3} =>$$$$\frac{y^3}{3} = 2x + \frac{1}{3} => y = \sqrt[3]{6x +1}$$
Ответ: \(y = \sqrt[3]{6x +1}\)
