Решение: в задании дифференциальное уравнение вида (F(y,y',y'') = 0), поэтому будем решать дифференциальное уравнение второго порядка методом понижения степени производной
1. Решаем методом понижения степени производной.
Введем замену y' = p => y'' = \frac{d}{dx}(y'_x) = \frac{d}{dx}(p(y))\frac{dy}{dx} = p'_yp, подставляем в дифференциальное уравнение y'' + yy'^3 = 0 => p'_yp + y*p^3 = 0 => p(p'_y + yp^2) = 0 получили систему уравнений \begin{cases}p = 0\\p'_y + yp^2 = 0\end{cases}=> \begin{cases}y' = 0\\ \frac{dp}{dy} = -yp^2\end{cases}=> решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными \begin{cases}y = C\\ \frac{dp}{p^2} = -ydy\end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ -\frac{1}{p} = -\frac{y^2}{2} + C_1 \end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ p = \frac{2}{y^2 + C_1}\end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y^2 + C_1}\end{cases}=> опять решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными \begin{cases}y = C\\ (y^2+C_1)dy = 2dx \end{cases}=> \begin{cases}y = C\\ \frac{y^3}{3} + C_1y = 2x + C_2 \end{cases}
2. Решаем задачу Коши с начальными условиями y(0)=1; \quad y'(0)=2
Находим значение функции решения в точке y(0)=1 \frac{1^3}{3} + C_1*1 = 2*0 + C_2 => \frac{1}{3} + C_1 =C_2
Находим значение первой производной функции решения в точке y'(0)=2 (\frac{y^3}{3} + C_1y)' = (2x + C_2)' => y^2y' + C_1y' = 2 подставляем условия Коши 1^2*2 + C_1*2 = 2 => C_1 = 0 Составляем систему уравнений \begin{cases} \frac{1}{3} + C_1 =C_2 \\ C_1 = 0\end{cases}=> \begin{cases} C_2 = \frac{1}{3} \\ C_1 = 0\end{cases}
Подставляем в решение уравнения \frac{y^3}{3} + C_1y = 2x + C_2 => \frac{y^3}{3} + 0*y = 2x + \frac{1}{3} =>\frac{y^3}{3} = 2x + \frac{1}{3} => y = \sqrt[3]{6x +1}
Ответ: y = \sqrt[3]{6x +1}