Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка\( xy'' - y' = 2x^2e^x\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( xy'' - y'= 0\)
Применим метод понижения порядка производной, т.е. приведем дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка для этого введем замену \(y' = u => y'' = u'\), получили $$xu' -u =0$$ получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решаем его $$x \frac{du}{dx} =u => \frac{du}{u} =\frac{dx}{x} => $$ разделили переменные (переменная \(u\) влево,а переменная \(x\) вправо), интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} => u = xc_1$$ применяем обратную замену \(u = y'\), получаем $$ y' = xc_1 => y = x^2C_1+C_2$$ Получили общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка $$y_{одн} = x^2C_1+C_2$$
2. Решаем неоднородное уравнение \( xy'' - y' = 2x^2e^x\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) = x^2C_1(x)+C_2(x) \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что \(b(x) = 2x^2e^x; \quad a_0(x) = x\). Из однородного решения получаем, что \(y_2(x) = 1; \quad y_1(x) = x^2\) подставляем в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)x^2+C'_2(x) = 0\\ C_1'(x)*2x-0 = \frac{2x^2e^x}{x} \end{cases} => $$ решаем систему уравнений $$ \begin{cases} x^2e^x+C'_2(x) = 0\\ C_1'(x) =e^x \end{cases} => \begin{cases} C_2'(x) = -x^2e^x\\ C_1'(x) =e^x \end{cases}$$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$C_2(x)= -x^2e^x+2xe^x-2e^x+C_3; \quad C_1(x) = e^x+C_4$$ пусть \(C_3=0; \quad C_4=0\)
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения $$y_{неодн} = x^2e^x-x^2e^x+2xe^x-2e^x+C_3$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} = x^2C_1+C_2 + x^2e^x-x^2e^x+2xe^x-2e^x+C_3 = $$$$ = x^2C_1+C_2+2xe^x-2e^x$$
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка $$y(x) = x^2C_1+C_2+2xe^x-2e^x$$
