Решение: решим линейное неоднородное уравнение \( y''-4y'+3y=e^{3x} \)
Последовательность решения:
1. Решаем однородное уравнение \( y''-4y'+3y= 0\)
Составляем характеристическое уравнение $$λ^2 - 4λ + 3 = 0$$ найдем корни характеристического уравнения $$λ_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} => λ_1 = 3 \quad λ_2 = 1$$ Общее решение однородного уравнения $$y_{одн} = C_1e^{3x} + C_2e^{x}$$
2. Решаем неоднородное уравнение \( y''-4y'+3y=e^{3x} \)
Найдем неоднородное решение дифференциального уравнения.
В правой части уравнения видим многочлен нулевой степени от \(x\), а коэффициент в показателе степени \(e\) это контрольное число \(σ = 3\) есть корнем характеристического уравнения кратности \(r =1\), то частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид \(y = x^rR_m(x)e^{σx}\), где \(R_m(x)\) - многочлен степени \(m\) - степень многочлена в правой части уравнения \(m = 0\), т.е. многочлен будет иметь вид \(R_m(x) = a\), получаем$$y_{неодн} = axe^{3x}$$ Будем искать постоянную \(a\) , найдена производные и подставим в дифференциальное уравнение $$y'_{неодн} = ae^{3x} + 3axe^{3x} $$$$ y''_{неодн} = 3ae^{3x} + 3ae^{3x} + 9axe^{3x} = 6ae^{3x} + 9axe^{3x}$$ Подставляем полученные выражения в дифференциальное уравнение $$6ae^{3x} + 9axe^{3x} - 4(ae^{3x} + 3axe^{3x}) + 3axe^{3x} = e^{3x} => 6a + 9ax - 4a - 12ax + 3ax = 1 =>$$$$2a = 1 => a = \frac{1}{2}$$
Получили частное неоднородное решение дифференциального уравнения $$y_{неодн} = \frac{1}{2}xe^{3x}$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида\(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} = C_1e^{3x} + C_2e^{x} + \frac{1}{2}xe^{3x}$$
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях \(y(0) = 3; \quad y'(0)=9\)
Находим значение общего решения в точке $$y_{об}(0) = C_1e^{3*0} + C_2e^{0} + \frac{1}{2}*0*0e^{3*0} = 3 => C_1 + C_2 = 3$$
Находим первую производную общего решения дифференциального уравнения$$y'_{об}(x) = (C_1e^{3x} + C_2e^{x} + \frac{1}{2}xe^{3x})' = 3C_1e^{3x} + C_2e^{x} + \frac{1}{2}e^{3x} + \frac{3}{2}xe^{3x} => $$$$y'_{об}(0) = 3C_1e^{3*0} + C_2e^{0} + \frac{1}{2}e^{3*0} + \frac{3}{2}*0*e^{3*0} =9 => 3C_1 + C_2 + \frac{1}{2} =9 => $$ Составляем систему уравнений и находим постоянные \(C_1;C_2\) $$\begin{cases}C_1 + C_2 = 3\\3C_1 + C_2 + \frac{1}{2} =9\end{cases} => \begin{cases}C_1 + C_2 = 3\\2C_1 +3 + \frac{1}{2} =9\end{cases} =>$$$$ \begin{cases}C_1 + C_2 = 3\\2C_1 =\frac{11}{2}\end{cases} => \begin{cases}C_2 = \frac{1}{4}\\C_1 =\frac{11}{4}\end{cases}$$
Подставляем результата в п.3 $$y(x) = \frac{11}{4}e^{3x} + \frac{1}{4}e^{x} + \frac{1}{2}xe^{3x}$$
Ответ: $$y(x) = \frac{1}{4}(e^{x} + e^{3x}(2x+11))$$
