Решение: рассмотрим дифференциальное уравнение \( xy'-y=x*\cos^{2}\frac{y}{x}\) это однородное уравнение первой степени вида \(M(x,y)dx + N(x,y)dx = 0\), где \(M(x,y),N(x,y)\) - однородные функции одной степени. Для решения этого вида уравнений применяется замена \(y = u(x)x => y' = u'(x)x + u(x)\).
1.Решаем уравнение $$ xy'-y=x*\cos^{2}\frac{y}{x} =>$$ применяем замену $$ x(u'x + u)-ux=x*\cos^2\frac{ux}{x} => u'x + u-u=\cos^2u => $$$$ \frac{du}{dx}x =\cos^2u =>$$получили однородное дифференциальное уравнение первой степени с разделяемыми переменными, решим его $$\frac{du}{\cos^2u} =\frac{dx}{x} =>$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{\cos^2u}du = \int \frac{dx}{x} => tg(u) = \ln(x) + \ln(C) =>$$$$ u = arctg(\ln(xC)) =>$$ применяем обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\) получаем $$ \frac{y}{x} = arctg(\ln(xC)) =>y = x arctg(\ln(xC))$$
2. Подставляем начальное условие Коши \(y(3) = 0\) $$y(3) = 3arctg(\ln(3C)) = 0 => \ln(3C) = 0 => 3C = 1 => C = \frac{1}{3}$$
Ответ: \(y = x arctg(\ln(\frac{x}{3}))\)
