Решение: рассмотрим уравнение $$ y'+2y=4x$$ это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$y'+2y = 0 => \frac{dy}{dx} = -2y=> \frac{dy}{y} = -2dx$$ проинтегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{dy}{y} =- \int 2dx => \ln(y) - \ln(C) = -2x => $$$$ y = Ce^{-2x} \quad (1)$$
2. Представляем \(C = C(x)\).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим \(C(x)\)
находим производную $$y' = ( C(x)e^{-2x})' = C'(x)e^{-2x} - 2C(x)e^{-2x}$$ подставляем в дифференциальное уравнение $$ y'+2y=4x => C'(x)e^{-2x} - 2C(x)e^{-2x} + 2C(x)e^{-2x} = 4x =>$$$$ C'(x)e^{-2x} = 4x => dC(x) = 4xe^{2x}dx$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int dC(x) = \int 4xe^{2x}dx => C(x) = 4\int xe^{2x}dx$$ интеграл будем находить методом интегрирования по частям. Введем замену \(u = x => du = dx \quad dv = e^{2x}dx => v = \frac{1}{2}e^{2x}\), получаем \(\int xe^{2x}dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} +C \) подставляем в дифференциальное уравнение $$C(x) = 2xe^{2x} - e^{2x} + C$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$y = C(x)e^{-2x} = (2xe^{2x} - e^{2x} + C)e^{-2x} =>$$$$y = 2x - 1 + Ce^{-2x}$$
Ответ: \( y = 2x + \frac{C}{e^{2x}} - 1\)
