Решение: дифференциальное уравнение \(y''-7y'+6y=0\) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения ищется в виде \(y = e^{λx}\), подставляем это решение в уравнение, для этого находим первую и вторую производную \(y' = λe^{λx}; \quad y''= λ^2e^{λx}\). Подставляем решение в дифференциальное уравнение $$y''-7y'+6y=0 => λ^2e^{λx}-7λe^{λx}+6e^{λx}=0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение, найдем его корни $$λ^2 - 7λ + 6 = 0 => λ_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{47-24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} =>$$$$ λ_1 = 6; \quad λ_2 = 1$$ Получили два корня, которым соответствуют два линейно независимых решения $$y_1 = e^{6x}; \quad y_2 = e^{x}$$ Общим решением дифференциального уравнения будет $$y_{одн} = C_1e^{x} + C_2e^{6x}$$
Ответ: \(y_{одн} = C_1e^{x} + C_2e^{6x}\)
