Решение: рассмотрим дифференциальное уравнение \( y-xy'=y\ln\frac{x}{y} \), преобразуем его $$y-xy'=y\ln\frac{x}{y} = y-x\frac{dy}{dx}=y\ln\frac{x}{y} =>$$$$(y-y\ln\frac{x}{y})dx-xdy=0 $$ получили однородное уравнение первой степени вида \(M(x,y)dx + N(x,y)dx = 0\), где \(M(x,y),N(x,y)\) - однородные функции одной степени. Для решения этого вида уравнений применяется замена \(y = u(x)x => y' = u'(x)x + u(x)\).
Решаем уравнение $$ y-xy'=y\ln\frac{x}{y} =>$$ применяем замену $$ ux-x(u'x + u)=ux\ln\frac{x}{ux} => $$$$ ux-x^2u' - ux=ux\ln\frac{1}{u} => -x^2u' =-ux\ln u$$$$xu' =u\ln u =>$$получили однородное дифференциальное уравнение первой степени, решим его $$\frac{du}{u\ln u} =\frac{dx}{x} =>$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{u\ln u} = \int \frac{dx}{x}=> \ln(\ln(u)) = \ln x + \ln C => $$ пропотенцируем обе части уравнения $$\ln(u) = xC => u = e^{xc}$$ возвращаемся к нашей замене $$y = ux => y = xe^{xc}$$
Ответ: \(y = xe^{xc}\), кроме того решением является \(x = 0\), которое было потеряно при делении на \(x\)
