Решение: преобразуем уравнение $$ xy' - \frac{y}{x+1}=x => y' - \frac{y}{x(x+1)} = 1$$ Получили неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$y' - \frac{y}{x(x+1)} = 0 => \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x(x+1)} =>$$$$ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x(x+1)} =>$$ интегрируем обе части уравнения уравнения $$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x(x+1)} =>\int \frac{dy}{y} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1})dx => $$$$ \ln(y) = \ln(x) - \ln(x+1) + \ln(C) => y = \frac{xC}{x+1} \quad (1)$$
2. Представляем \(C = C(x)\).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим \(C(x)\)
находим производную $$y' = (\frac{xC(x)}{x+1})' = \frac{(C(x) + xC'(x))(x+1) - xC(x)}{(x+1)^2} = $$$$ =\frac{xC(x) + x^2C'(x)+C(x) + xC'(x) - xC(x)}{(x+1)^2} = \frac{x^2C'(x)+C(x) + xC'(x)}{(x+1)^2}$$ подставляем в дифференциальное уравнение $$y' - \frac{y}{x(x+1)} = 1 => \frac{x^2C'(x)+C(x) + xC'(x)}{(x+1)^2} - \frac{xC(x)}{x(x+1)^2} = 1 =>$$$$\frac{x^2C'(x)+ xC'(x)}{(x+1)^2} = 1 => \frac{xC'(x)}{x+1} = 1 => C'(x) = 1 + \frac{1}{x}$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int dC(x) = \int (1 + \frac{1}{x})dx => C(x) = x + \ln(x) + C_1$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$y = \frac{xC(x)}{x+1} => y = \frac{x(x + \ln(x) + C_1)}{x+1}$$
4. Подставляем начальное условие Коши \(y(1)=0\)
$$y(1) = \frac{1(1 + \ln(1) + C_1)}{1+1} =0 => \frac{1 + C_1}{2} =0 => C_1 = -1$$
Ответ: \( y = \frac{x(x + \ln(x) -1)}{x+1}\)
