Решение: проверим, является ли линейное дифференциальное уравнение первого порядка \( x^2(y^3+5)dx+(x^3+5)y^2dy=0 \) уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение вида \(M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 \) будет уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полным дифференциалом некоторой функции, т.е. будет выполняться равенство \(\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}\).
Решаем дифференциальное уравнение
1. Находим частные производные $$\frac{\partial }{\partial y}(x^2(y^3+5)) = 3x^2y^2 \quad \frac{\partial }{\partial x}((x^3+5)y^2) = 3x^2y^2$$ получили равные частные производные, т.е. уравнение является линейным дифференциальным уравнением первой степени в полных дифференциалах, Таким образом существует функция \(u(x,y)\), такая что $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = x^2(y^3+5)$$
2. Проинтегрируем \(x^2(y^3+5)dx\), получим $$u(x,y) = \int x^2(y^3+5)dx = \frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \phi(y) \quad (1)$$
3. Ищем функцию \(\phi(y)\).
Для нахождения функции \(\phi(y)\) найдем производную функции \(u(x,y)\) по \(y\) и приравняем ее к известной частной производной по \(y\) это \((x^3+5)y^2\), получаем $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(\frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \phi(y)) = \frac{2}{3}x^3y + \phi'(y) =>$$$$\frac{2}{3}x^3y + \phi'(y) = (x^3+5)y^2 => d\phi(y) = ((x^3+5)y^2 - \frac{2}{3}x^3y)dy$$ интегрируем обе части уравнения $$\phi(y) = \int ((x^3+5)y^2 - \frac{2}{3}x^3y)dy = \frac{1}{3}(x^3+5)y^3 - \frac{1}{3}x^3y^2$$
4. Находим полный интеграл дифференциального уравнения.
Подставляем в функцию \(u(x,y)\) формула (1), получаем $$u(x,y) = \frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \phi(y) => $$$$u(x,y) = \frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \frac{1}{3}(x^3+5)y^3 - \frac{1}{3}x^3y^2 = \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{3}(x^3+5)y^3$$ Получили полный интеграл дифференциального уравнения $$\frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{3}(x^3+5)y^3 = C => $$$$y = \sqrt[3]{\frac{C - 5x^3}{x^3+5}}$$
5. Подставляем начальные условия \(y(0)=1\)
$$y(0) = \sqrt[3]{\frac{C - 5*0^3}{0^3+5}} = 1 => \sqrt[3]{\frac{C}{5}} = 1 => C = 5$$
Ответ: \(y = \sqrt[3]{5\frac{1 - x^3}{x^3+5}} \)
