Дифференциальные уравнения $$x^{2}(y^{3}+5)dx+(x^{3}+5)y^{2}dy=0 \quad y(0)=1$$

Решение: проверим, является ли линейное дифференциальное уравнение первого порядка $x^2(y^3+5)dx+(x^3+5)y^2dy=0$ уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение вида $M(x,y)dx + N(x,y)dy =0$ будет уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полным дифференциалом некоторой функции, т.е. будет выполняться равенство $\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$.
Решаем дифференциальное уравнение
1. Находим частные производные 

$$\frac{\partial }{\partial y}(x^2(y^3+5)) = 3x^2y^2 \quad \frac{\partial }{\partial x}((x^3+5)y^2) = 3x^2y^2$$ получили равные частные производные, т.е. уравнение является линейным дифференциальным уравнением первой степени в полных дифференциалах, Таким образом существует функция $u(x,y)$, такая что $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = x^2(y^3+5)$$
2. Проинтегрируем $x^2(y^3+5)dx$, получим $$u(x,y) = \int x^2(y^3+5)dx = \frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \phi(y) \quad (1)$$
3. Ищем функцию $\phi(y)$.
Для нахождения функции $\phi(y)$ найдем производную функции $u(x,y)$ по $y$ и приравняем ее к известной частной производной по $y$ это $(x^3+5)y^2$, получаем $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(\frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \phi(y)) = \frac{2}{3}x^3y + \phi'(y) =>$$ $$\frac{2}{3}x^3y + \phi'(y)  = (x^3+5)y^2 => d\phi(y) = ((x^3+5)y^2 - \frac{2}{3}x^3y)dy$$ интегрируем обе части уравнения $$\phi(y) = \int ((x^3+5)y^2 - \frac{2}{3}x^3y)dy = \frac{1}{3}(x^3+5)y^3 - \frac{1}{3}x^3y^2$$
4. Находим полный интеграл дифференциального уравнения.
Подставляем в функцию $u(x,y)$ формула (1), получаем $$u(x,y) = \frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \phi(y) =>$$ $$u(x,y) = \frac{1}{3}x^3(y^2 + 5) + \frac{1}{3}(x^3+5)y^3 - \frac{1}{3}x^3y^2 = \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{3}(x^3+5)y^3$$ Получили полный интеграл дифференциального уравнения $$\frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{3}(x^3+5)y^3 = C =>$$ $$y = \sqrt[3]{\frac{C - 5x^3}{x^3+5}}$$
5. Подставляем начальные условия $y(0)=1$
$$y(0) = \sqrt[3]{\frac{C - 5*0^3}{0^3+5}} = 1 => \sqrt[3]{\frac{C}{5}} = 1 => C = 5$$
Ответ: $y = \sqrt[3]{5\frac{1 - x^3}{x^3+5}}$