Основою піраміди є правильний трикутникю Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи

Решение: найдем полную площадь поверхности пирамиды. Рассмотрим рисунок $$S_{полн} = S_{ABC} + S_{ASB} + S_{ASC} +S_{BSC} \quad (1)$$

1. Площадь треугольников $ΔASB$ и $ΔASC$.
Треугольники $ΔASB$ и $ΔASC$ прямоугольные и равные (сторона $AS$ общая, а стороны $AB = AC =a$ т.к треугольник $ΔABC$ - правильный по условию задачи), т.е. $S_{ASB} =  S_{ASC} = \frac{1}{2}AS*a$.

2. Площадь правильного треугольника $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

3. Площадь треугольника $ΔBSC$.
Треугольник $ΔABC$ является проекцией треугольника $ΔBSC$ на площадь основания. Угол между плоскостью этого треугольника $ΔBSC$ и основанием равен $60^0$, т.е. $S_{ABC} = S_{BSC}*\cos(60^0) => S_{BSC} = 2S_{ABC}$

4. Найдем сторону $a$ правильного треугольника $ΔABC$.
Треугольник $ΔBSC$ - равнобедренный треугольник $BS = SC$, тогда $SD$ - высота, медиана этого треугольника, а угол $\angle SDA = 60^0$. Из $ΔABC$ высота правильного треугольника равна $AD = \frac{\sqrt{3}}{2}a$, тогда из $ΔASD$ найдем $a$, $tg(60^0) = \frac{AS}{AD} => AD = \frac{24}{\sqrt{3}}$, подставляем значение $AD$, получаем $\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{24}{\sqrt{3}} => a = 16$.

5.Подставляем полученные результаты в (1) $$S_{полн} = S_{ABC} + 2S_{ASB} +2S_{ABC} =>$$ $$S_{полн} = 3S_{ABC} + 2S_{ASB} => S_{полн} = 3\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + 2\frac{1}{2}AS*a =>$$ $$S_{полн} = 3\frac{\sqrt{3}}{4}16^2 + 24*16 = 192 + 384\sqrt{3} = 192(2+\sqrt{3})$$
Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна $S_{полн} = 192(2+\sqrt{3})$