Найти неопределенный интеграл $$ \int\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx$$

Найдем интеграл: \( \int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx \)
Решение: преобразуем подынтегральное выражение $$ \int\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx  =\int\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}dx =$$ выделим полный квадрат в знаменателе \(x-x^2 = -( x^2 -2\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2\) $$ = \int\frac{1}{\sqrt{ \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2}}dx = \int \frac{2}{\sqrt{ 1 - 4(x - \frac{1}{2})^2}}dx = $$
применим метод замены независимой переменной. Вводим замену \(2(x - \frac{1}{2}) = t => 2dx = dt\). Подставляем $$ = \int \frac{1}{\sqrt{ 1 - t^2}}dt =$$ применяем формулу табличного интеграла функции арксинуса\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin(x)\) $$ = \arcsin(t) + C =$$ применяем обратную замену \(2(x - \frac{1}{2}) = t => 2x-1 = t\) $$ =  \arcsin(2x-1) + C$$
Ответ: \(  \int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx = \arcsin(2x-1) + C \)