Непрерывная случайная величина $X$ имеет плотность распределения $f(x)$. Найти коэффициент $A$

а) найдем коэффициент $A$
Воспользуемся свойством плотности распределения для нахождения параметра $A$. Если все возможные значения плотности распределения принадлежат отрезку $[a;b]$, тогда $\int_a^bf(x)dx = 1$. В нашем случае все значения попадают в интеграл $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$, получаем

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}A\cos(x)dx = 1 => A\sin(\frac{\pi}{2}) - A\sin(-\frac{\pi}{2}) =1 => A = \frac{1}{2}$$
Ответ: коэффициент $A = \frac{1}{2}$
Найдем функцию распределения $F(x)$. Для решения задачи воспользуемся формулой $\int_{-\infty}^{x}f(t)dt = F(x)$.
Функцию распределения будем искать на трех интервалах.
1. $x < -\frac{\pi}{2}$ $$F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{x}0dt = 0$$
2. $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ $$F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}f(t)dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{ x}f(t)dt =$$ $$= \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}0dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{1}{2}\cos(t)dt = 0 + \frac{1}{2}\sin(x) +\frac{1}{2}  = \frac{1}{2}(\sin(x)+1)$$
3. $\frac{\pi}{2} < x$ $$F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}f(t)dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(t)dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty}f(t)dt  =$$ $$= \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}0dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos(t)dt +  \int_{\frac{\pi}{2}}^{x}0dt =$$ $$= 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$$
Ответ: функция распределения имеет вид: $$F(x) = \begin{cases}0 & x < -\frac{\pi}{2}\\  \frac{1}{2}(\sin(x)+1) & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ 1 & \frac{\pi}{2} < x \end{cases}$$
б) построить график плотности распределения $f(x)$

с) найти вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(a;b)$ равна определенному интегралу от плотности распределения $f(x)$ по отрезку $(a;b)$, т.е. $P(a < X < b)\int_a^bf(x)dx$ получаем

$$P(-\frac{\pi}{2} < X < \frac{\pi}{2}) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{ \frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos(x)dx = >$$ $$P(-\frac{\pi}{2} < X < \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\sin(x)|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 1$$
Ответ: вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ равна $P(-\frac{\pi}{2} < X < \frac{\pi}{2}) = 1$