Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Непрерывная случайная величина \(X\) имеет плотность распределения \(f(x)\). Найти коэффициент \(A\)


1 Vote
Морозова Викт
Posted Май 16, 2014 by Морозова Виктория Сергеевна
Категория: Теория вероятностей
Всего просмотров: 3834

Непрерывная случайная величина \(X\) имеет плотность распределения $$f(x) = \begin{cases}0, & x < -\frac{\pi}{2}\\ A\cos(x), &  -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0, & x > \frac{\pi}{2}\end{cases}$$
Найти:
a) коэффициент \(A\);
б) построить график плотности распределения \(f(x)\)
с) найти вероятность попадания случайной величины \(X\) на интервал \((-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\)

Теги: теория вероятностей, функция распределения, плотность распределения, непрерывная случайная величина

Лучший ответ


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Май 16, 2014 by Вячеслав Моргун

а) найдем коэффициент \(A\)
Воспользуемся свойством плотности распределения для нахождения параметра \(A\). Если все возможные значения плотности распределения принадлежат отрезку \([a;b]\), тогда \(\int_a^bf(x)dx = 1\). В нашем случае все значения попадают в интеграл \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\), получаем $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}A\cos(x)dx = 1 => A\sin(\frac{\pi}{2}) - A\sin(-\frac{\pi}{2}) =1 => A = \frac{1}{2}$$
Ответ: коэффициент \(A = \frac{1}{2}\)
Найдем функцию распределения \(F(x)\). Для решения задачи воспользуемся формулой \( \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = F(x)\).
Функцию распределения будем искать на трех интервалах.
1. \( x < -\frac{\pi}{2} \) $$ F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{x}0dt = 0$$
2. \( -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) $$ F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}f(t)dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{ x}f(t)dt = $$$$ = \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}0dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{1}{2}\cos(t)dt = 0 + \frac{1}{2}\sin(x) +\frac{1}{2}  = \frac{1}{2}(\sin(x)+1)$$
3. \( \frac{\pi}{2} < x \) $$ F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}f(t)dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(t)dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty}f(t)dt  = $$$$ = \int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}0dt  + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos(t)dt +  \int_{\frac{\pi}{2}}^{x}0dt = $$$$ = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$$
Ответ: функция распределения имеет вид: $$ F(x) = \begin{cases}0 & x < -\frac{\pi}{2}\\  \frac{1}{2}(\sin(x)+1) & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ 1 & \frac{\pi}{2} < x \end{cases} $$
б) построить график плотности распределения \(f(x)\)


график плотности распределения



с) найти вероятность попадания случайной величины \(X\) в интервал \((-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\)
Вероятность попадания случайной величины \(X\) в интервал \((a;b)\) равна определенному интегралу от плотности распределения \(f(x)\) по отрезку \((a;b)\), т.е. \(P(a < X < b)\int_a^bf(x)dx\) получаем $$P(-\frac{\pi}{2} < X < \frac{\pi}{2}) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{ \frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos(x)dx = >$$$$P(-\frac{\pi}{2} < X < \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\sin(x)|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 1$$
Ответ: вероятность попадания случайной величины \(X\) в интервал \((\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\) равна \(P(-\frac{\pi}{2} < X < \frac{\pi}{2}) = 1\)


Другие ответы


0 Голосов
Морозова Викт
Posted Май 24, 2014 by Морозова Виктория Сергеевна

Спасибо огромное))