Решение: решим данный пример двумя способами:
1. Первый способ. Применим признак Даламбера в граничной форме
$$I = \lim_{n \to \infty}|\frac{U_{n+1}}{U_n}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{(n+1)^2-4}{4^{n+1}}(x-4)^{n+1}}{\frac{n^2-4}{4^n}(x-4)^n}| =$$$$ = \lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)^2-4}{4(n^2-4)}(x-4)| = |\frac{x-4}{4}|$$Согласно признака Даламбера ряд сходится, если найденный предел \(l = |\frac{x-4}{4}| \) меньше единицы $$ |\frac{x-4}{4}| < 1 => |x-4| < 4 => $$$$ -4 < x-4 < 4 => 0 < x < 8$$ Получили интервал сходимости, половина этого интервала равна радиусу сходимости \(R = 4\)
2. Второй способ.
Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся формулой $$R = \lim_{n \to \infty}|\frac{C_n}{C_{n+1}}|$$ получаем $$R = \lim_{n \to \infty}|\frac{\frac{n^2-4}{4^n}}{\frac{(n+1)^2-4}{4^{n+1}}}|= \lim_{n \to \infty}|4\frac{n^2-4}{(n+1)^2-4}|=4 $$ Получили радиус сходимости \(R = 4\). Интервал сходимости - интервал симметричный относительно точки \(x_0 = 4\), т.е. \((x_0 - R < x < x_0 + R)\) => \((4 - 4 < x < 4 + 4)\) => \(0 < x < 8\)
3. Поведение ряда на границах интервала.
Проведем исследование поведения ряда на границах интервала.
\(x = 0\) Подставляем значение \(x\) в ряди получаем числовой ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-4}{4^n}(-4)^n$$Получили знакопеременный ряд. Определим сходимость ряда из абсолютных величин его членов $$ \sum_{n=1}^{\infty}|\frac{n^2-4}{4^n}4^n| = \sum_{n=1}^{\infty}|n^2-4|$$Форма общего члена равна $$U_n = n^2-4$$ Этот ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда $$ \lim_{n \to \infty}U_n = \lim_{n \to \infty}|n^2-4| = \infty \ne 0$$
\(x = 8\) Подставляем значение \(x\) в ряди получаем числовой ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-4}{4^n}4^n = \sum_{n=1}^{\infty}(n^2-4)$$Получили знакопостоянный ряд. Этот ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда $$ \lim_{n \to \infty}U_n = \lim_{n \to \infty}(n^2-4) = \infty \ne 0$$
4. Ответ: радиус степенного ряда равен \(R = 4\), интервал сходимости \((0;8 )\)
