Решение: решим данный пример двумя способами:
1. Первый способ. Применим признак Даламбера в граничной форме
I = \lim_{n \to \infty}|\frac{U_{n+1}}{U_n}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{(n+1)^2-4}{4^{n+1}}(x-4)^{n+1}}{\frac{n^2-4}{4^n}(x-4)^n}| =
= \lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)^2-4}{4(n^2-4)}(x-4)| = |\frac{x-4}{4}|
Согласно признака Даламбера ряд сходится, если найденный предел
l = |\frac{x-4}{4}| меньше единицы
|\frac{x-4}{4}| < 1 => |x-4| < 4 =>
-4 < x-4 < 4 => 0 < x < 8
Получили интервал сходимости, половина этого интервала равна радиусу сходимости
R = 4
2. Второй способ.
Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся формулой R = \lim_{n \to \infty}|\frac{C_n}{C_{n+1}}|
получаем
R = \lim_{n \to \infty}|\frac{\frac{n^2-4}{4^n}}{\frac{(n+1)^2-4}{4^{n+1}}}|= \lim_{n \to \infty}|4\frac{n^2-4}{(n+1)^2-4}|=4
Получили радиус сходимости
R = 4. Интервал сходимости - интервал симметричный относительно точки
x_0 = 4, т.е.
(x_0 - R < x < x_0 + R) =>
(4 - 4 < x < 4 + 4) =>
0 < x < 83. Поведение ряда на границах интервала.Проведем исследование поведения ряда на границах интервала.
x = 0 Подставляем значение
x в ряди получаем числовой ряд
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-4}{4^n}(-4)^n
Получили знакопеременный ряд. Определим сходимость ряда из абсолютных величин его членов
\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{n^2-4}{4^n}4^n| = \sum_{n=1}^{\infty}|n^2-4|
Форма общего члена равна
U_n = n^2-4
Этот ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда
\lim_{n \to \infty}U_n = \lim_{n \to \infty}|n^2-4| = \infty \ne 0
x = 8 Подставляем значение
x в ряди получаем числовой ряд
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-4}{4^n}4^n = \sum_{n=1}^{\infty}(n^2-4)
Получили знакопостоянный ряд. Этот ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда
\lim_{n \to \infty}U_n = \lim_{n \to \infty}(n^2-4) = \infty \ne 0
4.
Ответ: радиус степенного ряда равен
R = 4, интервал сходимости
(0;8 )
