$$1) \quad \lim_{x \to 1} (\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1})$$
Подставим значение пределав функцию $$\lim_{n \to 1} (\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1})=(\frac{2}{1^2-1}-\frac{1}{1-1})=\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=\infty-\infty$$ Получили неопределенность \(\frac{1}{0}-\frac{1}{0}\). Один из методов решения подобных примеров - метод преобразования. Из примера видно, что 0 в знаменателе получаетсят из-за выпожения (x-1), которое равно 0 при x = 1. Цель преобразований - получить знаменатель , который при x = 1 не будет равен 0. Приступаем $$\lim_{n \to 1} (\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1})=\lim_{n \to 1} (\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x-1})=$$$$=\lim_{n \to 1} (\frac{2-x+1}{(x-1)(x+1)})=\lim_{n \to 1} (\frac{1-x}{(x-1)(x+1)})=\lim_{n \to 1} (-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)})=$$$$=-\lim_{n \to 1} \frac{1}{(x+1)}=-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$$
$$2) \quad \lim_{n \to -3} (\frac{1}{x+3}+\frac{6}{x^2-9})= \frac{1}{-3+3}+\frac{6}{(-3)^2-9}=\frac{1}{0}+\frac{6}{0}=\infty + \infty$$Получили неопределенность \(\infty + \infty\), проведем ряд преобразований.$$ \lim_{n \to -3} (\frac{1}{x+3}+\frac{6}{x^2-9})=\lim_{n \to -3} (\frac{1}{x+3}+\frac{6}{(x-3)(x+3)})=$$$$=\lim_{n \to -3} \frac{x-3+6}{(x-3)(x+3)}=\lim_{n \to -3} \frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=$$$$=\lim_{n \to -3} \frac{1}{(x-3)}=\frac{1}{-3-3}=-\frac{1}{6}$$
$$3) \quad \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2-5x+2}{8x^3-4x^2}= \frac{2( \frac{1}{2})^2-5* \frac{1}{2}+2}{8( \frac{1}{2})^3-4( \frac{1}{2})^2}=$$$$=\frac{\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+2}{1-1}=\frac{0}{0}$$ Получили неопределенность \(\frac{0}{0}\), можно воспользоваться правилом Лопиталя$$\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$$$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2-5x+2}{8x^3-4x^2}=\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4x-5}{24x^2-8x}=\frac{4*\frac{1}{2}-5}{24*(\frac{1}{2})^2-8\frac{1}{2}}=\frac{2-5}{6-4}=-\frac{3}{2}$$
