Найдем интеграл: \( \int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. разложим знаменатель на множители.
Проведем преобразования \(x^2-4x-12 = (x-6)(x+2)\), получаем \( \int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx = \int \frac{x+18}{(x-6)(x+2)}dx\)
2. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{x+18}{(x-6)(x+2)} = \frac{A}{x-6} + \frac{B}{x+2} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$ \frac{x+18}{(x-6)(x+2)} = \frac{A(x+2) + B(x-6)}{(x-6)(x+2)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$ x+18 = A(x+2) + B(x-6) $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} 1 = A + B\\ 18 = 2A - 6B \end{cases} => \begin{cases} A = 3 \\ B = -2 \end{cases} $$ подставляем в (1) $$ \frac{x+18}{(x-6)(x+2)} = \frac{3}{x-6} - \frac{2}{x+2} $$ теперь можно найти интеграл
3. Находим интеграл $$ \int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx = \int \frac{3}{x-6}dx - \int \frac{2}{x+2}dx \quad (2)$$
3.1. найдем интеграл \( \int \frac{3}{x-6}dx \)
применим формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),получаем \( \int \frac{3}{x-6}dx = 3\ln(x-6) +C \)
3.2. найдем интеграл \( \int \frac{2}{x+2}dx \)
применим формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),получаем \( \int \frac{2}{x+2}dx = 2\ln(x+2) +C \)
4. Подставляем результата в (2)
$$ \int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx = \int \frac{3}{x-6}dx - \int \frac{2}{x+2}dx = $$$$ = 3\ln(x-6) - 2\ln(x+2) + C $$
Ответ: \( \int \frac{x+18}{x^2-4x-12}dx =3\ln(x-6) - 2\ln(x+2) + C\)
