Решение: рассмотрим рисунок.
В результате вращения получаем фигуру, которую можно представить как сумму двух конусов с общим основанием.
Как известно объем конуса равен V = \frac{1}{3}S_{осн}h тогда объем фигуры вращения равен V = V_1+ V_2 = \frac{1}{3}S_{осн}h_1 + \frac{1}{3}S_{осн}h_2 = \frac{1}{3}S_{осн}(h_1 + h_2) \quad (1) Из условия задачи мы помним, что вращение происходит вокруг наибольшей стороны, т.е. h_1 = OB, h_2 = OC, h_1+h_2 = BC = 21, подставляем в (1) V = \frac{1}{3}\pi R^2*21 = 7\pi R^2 \quad (2) Теперь осталось найти радиус R = OA.
Найдем радиус основания.
Рассмотрим треугольник ΔABC. Опустим высоту из точки A на сторону BC в точку O, получим R = OA. Обозначим OC = x, тогда из теоремы Пифагора из треугольников ΔBOA и ΔСOA получим \begin{cases}OA^2 + OB^2 = AB^2 \\ OC^2 + OA^2 = AC^2\end{cases} => \begin{cases}R^2 + (BC-OC)^2 = AB^2 \\ OC^2 + R^2 = AC^2\end{cases} => \begin{cases}R^2 + (21-x)^2 = 17^2 \\ x^2 + R^2 = 10^2\end{cases} => \begin{cases}R^2 + 21^2 -42x + x^2 = 17^2 \\ x^2 + R^2 = 10^2\end{cases} => \begin{cases}10^2 + 21^2 -42x = 17^2 \\ x^2 + R^2 = 10^2\end{cases} =>=>\begin{cases} x = 6 \\ R = 8\end{cases} Подставляем результат в формулу объема (2) V = 7\pi R^2 = 7\pi 64 = 448\pi \text{см}^3
Ответ: объем тела вращения равен V = 448\pi \text{см}^3
