Найдем интеграл: \( \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}(x-1)}dx \)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{1}{x^2(x-1)} = \frac{Ax+B}{x^2} + \frac{C}{x-1} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$ \frac{1}{x^2(x-1)} = \frac{(Ax+B)(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$ 1 = (Ax+B)(x-1)+Cx^2 $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} 0 = A + C\\ 0 = -A + B \\ 1 = -B \end{cases} => \begin{cases} C =1 \\ A =-1 \\ B =-1 \end{cases} $$ подставляем в (1) $$ \frac{1}{x^2(x-1)} = \frac{-x-1}{x^2} + \frac{1}{x-1} $$ теперь можно найти интеграл
2. Находим интеграл $$ \int \frac{1}{x^{2}(x-1)}dx = \int \frac{-x-1}{x^2}dx + \int \frac{1}{x-1}dx \quad (2)$$
2.1. найдем интеграл \( \int \frac{-x-1}{x^2}dx \)
$$ \int \frac{-x-1}{x^2}dx = -[\int \frac{x}{x^2}dx+\int \frac{1}{x^2}dx] = $$$$ = -[\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{x^2}dx] =$$ применим формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\), и табличный интеграл от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\), получаем $$ = -[ \ln(x) + \frac{1}{-2+1}x^{-2+1}] +C = - \ln(x) + \frac{1}{x} +C$$
2.2. найдем интеграл \( \int \frac{1}{x-1}dx \)
применим формулу табличного интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),получаем $$ \int \frac{1}{x-1}dx = \ln(x-1) +C $$
3. Подставляем результата в (2)
$$ \int \frac{1}{x^{2}(x-1)}dx = - \ln(x) + \frac{1}{x} + \ln(x-1) +C = $$$$ = \frac{1}{x} + \ln(\frac{x-1}{x}) +C$$
4. Подставляем полученные результаты в исходный интеграл и применим формулу Ньютона-Лейбница
формула Ньютона - Лейбница \( \int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем
$$ \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}(x-1)}dx = \frac{1}{x} + \ln(\frac{x-1}{x})|_{4}^{5} = $$$$ = \frac{1}{5} + \ln(\frac{5-1}{5}) - \frac{1}{4} - \ln(\frac{4-1}{4}) = $$$$ = -\frac{1}{20}+\ln( \frac{16}{15})$$
Ответ: \( \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}(x-1)}dx = -\frac{1}{20}+\ln( \frac{16}{15})\)
