Решение: найдем интеграл \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+tg(x)}{\sin(2x)}dx \)
Проведем тригонометрические преобразования $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+tg(x)}{ \sin(2x)}dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)+ \sin(x)}{ 2\sin(x)\cos(x)}dx$$$$ = \frac{1}{2}[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{ \cos^2(x)}dx] \quad (1)$$
1. Найдем интеграл: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{ \cos^2(x)}dx \)
Применим формулу табличного интеграла тангенса \( \int \frac{1}{ \cos^2(x)}dx = tg(x) + C\) и формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\),
получаем $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{ \cos^2(x)}dx = tg(x)|_{\frac{\pi}{6}}^{ \frac{\pi}{4}} = $$$$ = tg(\frac{\pi}{4}) - tg(\frac{\pi}{6}) = 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}}$$
Ответ: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{ \cos^2(x)}dx = 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}}\)
2. Найдем интеграл: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}dx \quad (2)\)
Будем находить интеграл методом замены независимой переменной:
Применим метод замены независимой переменной:
введем замену \(\sin(x) = t => \cos(x)dx = dt\). Найдем новые пределы интегрирования \( x = \frac{ \pi}{6} => t = \frac{1}{2}\) и \(x = \frac{\pi}{4} => t = \frac{1}{ \sqrt{2}}\).
Получили
\( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{ \cos(x)}{\sin(x) \cos^2(x)}dx =\)
\( = \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{ t(1-t^2)}dt= \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}}[ \frac{1}{t} + \frac{t}{1-t^2}]dt = \)
\( = \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{t}dt + \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{t}{1 - t^2}dt \quad (3) \)
2.1. Находим интеграл \( \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{t}dt \)
Применим формулу табличного интеграла \( \int \frac{1}{t} = \ln(t) + C\),
\(\int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{t}dt = \ln(t)|_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}}=\)
\( = \ln(\frac{1}{\sqrt{2}} - \ln(\frac{1}{2}) ) = \frac{ \ln(2)}{2}\)
2.2. Находим интеграл \( \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{t}{t^2-1}dt \)
Интеграл \( \int \frac{t}{1 - t^2}dt \) решается методом замены переменной \(1- t^2=u => -2tdt = du\), получаем \( \int \frac{t}{1 - t^2}dt = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du = -\frac{1}{2} \ln(u) +C\) применяем обратную замену \(u = 1 - t^2\), получаем \(= \ln(1- t^2) +C\), получаем
\( \int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{t}{1 - t^2}dt = \frac{1}{2}\ln(1 - t^2 )|_{ \frac{1}{\sqrt{2}}}^{ \frac{1}{2}} = \)
\( = \frac{1}{2}[\ln( \frac{3}{4}) - \ln(\frac{1}{2})] = \frac{1}{2}\ln(\frac{3}{2})\)
2.3. подставляем результата в (3)
\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}dx = \frac{1}{2}\ln(\frac{3}{2}) +\frac{ \ln(2)}{2} = \frac{1}{2}\ln(3)\)
3. Подставляем полученные результаты в исходный интеграл (1).
$$ \frac{1}{2}[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\sin(x) \cos(x)}dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{ \cos^2(x)}dx] = $$
$$ = \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}\ln(3) + 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} ] $$
Ответ: \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+tg(x)}{\sin(2x)}dx = \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}\ln(3) + 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} ] \)
