Найдем несобственный интеграл: \( \int_{1}^{\infty}\frac{1}{(x^{2}+2x)\ln(3)}dx \)
Решение: несобственным интегралом первого рода от функции \(f(x)\), непрерывной при \(a \leq x \leq \infty\) называется предел $$ \int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)dx$$
Решаем. Подынтегральная функция определена и непрерывна во всех точках заданного интеграла \([1;\infty)\), соответственно, согласно определения несобственного интеграла получаем $$ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{(x^{2}+2x)\ln(3)}dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b}\frac{1}{(x^{2}+2x)\ln(3)}dx = $$$$ = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b}\frac{1}{x(x+2)\ln(3)}dx = \frac{1}{2\ln(3)}\lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b}[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}]dx =$$$$ = \frac{1}{2\ln(3)}\lim_{b \to \infty} [ \ln(x) - \ln(x+2)]|_{1}^{b} = $$$$ = \frac{1}{2\ln(3)}\lim_{b \to \infty} [ \ln(\frac{b}{b+2}) - \ln(1) + \ln(3)] = $$$$ = \frac{1}{2\ln(3)}[ \ln(1) - \ln(1) + \ln(3)] = \frac{1}{2}$$
Ответ: \( \int_{1}^{\infty}\frac{1}{(x^{2}+2x)\ln(3)}dx = \frac{1}{2} \)
