Найдем несобственный интеграл: \( \int_0^3 \frac{\sqrt[3]{9}xdx}{\sqrt[3]{9-x^2}} \)
Решение: если функция \(f(x)\) определена при \( a \leq x \leq b\), интегрирована на любом отрезке \([a;b-\epsilon), \quad 0 < \epsilon < b-a \) и ограничена в точке \(b\), тогда предел $$\int_a^{b - \epsilon}f(x)dx$$ при \(\epsilon \to 0\) называется несобственным интегралом второго рода: $$\int_a^bf(x) = \lim_{x \to \epsilon}\int_a^{b-\epsilon}f(x)dx$$
Исходя из определения несобственного интеграла второго рода вычислим интеграл $$ \int_0^3\frac{\sqrt[3]{9}xdx}{\sqrt[3]{9-x^2}} = $$ Подынтегральная функция неограниченна в окрестности точки \(x =3 \), но она непрерывна и интегрирована на отрезке \( [0; 3-\epsilon)\). В соответствии с определением получаем $$ = \lim_{\epsilon \to 0}\int_0^{3 -\epsilon} \frac{\sqrt[3]{9}xdx}{\sqrt[3]{9-x^2}} = $$ Применим метод замены независимой переменной. Введем замену \(9-x^2 = t => dx = -\frac{1}{2}dt\), пересчитаем границы интегрирования \(x = 0 => t = 9; \quad x = 3 => t = 0 \), получаем $$ = -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} \lim_{\epsilon \to 0}\int_9^{0-\epsilon}\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}dt = $$ применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = -\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{1-\frac{1}{3}}t^{1-\frac{1}{3}}|_9^{0- \epsilon} = -\frac{\sqrt[3]{9}}{2} \frac{3}{2}\lim_{\epsilon \to 0} t^{\frac{2}{3}}|_9^{0 - \epsilon}= $$$$ = -\frac{3\sqrt[3]{9}}{4}(0 - 9^{\frac{2}{3}}) = \frac{3\sqrt[3]{9}}{4}3*3^{\frac{1}{3}} = \frac{27}{4} $$
Ответ: \(\int_0^3 \frac{\sqrt[3]{9}xdx}{\sqrt[3]{9-x^2}} = \frac{27}{4} \)
